【ラジアン】って何?角度が360°より大きくなったりマイナスになるってどういうこと??【数学Ⅱ】

三角関数
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三角関数に入って一番最初に出てくるのが「弧度法(ラジアン)

しかも、マイナスの角度が出てきたり、360度を超えたり、、、

今までの角度とはいろいろ違って混乱しますよね。


シグ魔くん
シグ魔くん

° (度) で別にいいじゃん!

なんでラジアンなんか使うんだ!!


という気持ちもわかりますが、ラジアンは数学を考える上でとても便利なのです。

しかも、そんなに難しくはないのでこの記事を読んでもらえれば、すぐにマスターできますよ!

こんな人に向けて書いてます!

  • マイナスの角度がわからない人
  • 弧度法(ラジアン)が嫌いなひと
  • 弧度法と度数法(ラジアンと度)の変換が苦手な人

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1. マイナスの角度

これから三角関数を学ぶにあたって、今までと大きく異なることがあります。

それは、

角度が0°から360°までとは限らない

ということです。


たとえば、-30°のようなマイナスの角度とか、720°のような360°より大きい角度とかを考えたりします。

パイ子ちゃん
パイ子ちゃん

なんで角度がマイナスになったりするの?

と思うでしょうが、それは

角度の定義の仕方が今までとは異なるから

です。


では、新しい角度の定義を見ていきます!


定義を見てもちんぷんがんぷんという人も大丈夫!

下の方で詳しく解説していくので諦めないでついてきてね!


一般角

半直線\(OX\)が\(O\)を中心に回転移動し、半直線\(OP\)に移ったとする。

\(OX\)から\(OP\)に向かって

反時計回りに測った角を正の角

時計回りに測った角を負の角

という。

半直線\(OX\)を始線、半直線\(OP\)を動径というよ!


うわあぁぁぁぁぁ!!!

意味がわからないぃぃぃーー!!!!


となっている人も大丈夫です。

この説明を見てわかる方がおかしいですから(笑)


では、もっと詳しく説明していきます。

下の図と照らし合わせながら読み進めていってください。


上の図で「角」と言われたら、もちろん\( \angle XOP \)を見ると思います。


ですが、

OPがOXからどの向きに動いたかによって、

角度にプラスやマイナスがつきます。


上の図の左側は、OXから反時計回りにOPが動いています。

このときは正の角と呼びます。

ということは、角度にプラスがつきますが、プラスは今までどおり省略します。

なので、正の角は今まで通り、30°や120°のように表します。


逆に、上の図の右側は、OXから時計回りにOPが動いています。

これが負の角といって、マイナスで表すことになります。

たとえば、-60°や-135°といったように表します。


ここまでの説明できづいたと思いますが、

-30°と30°は、時計回りか反時計回りかだけの違いで、角の大きさはどちらも同じです。

なので、どっち回りなのかさえわかれば余裕というわけです。


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2. 360°より大きい角度

次は720°や-450°などの、360°を上回った場合を考えます。

ですが、このときも考え方は第1章で説明した考え方と同じです。


ポイントは、OPがOXからどれくらい動いたかで角度が決まります。


次の図を見てください。



30° , 390° , 750° の例を上にのせました。

違いはなんでしょうか。


そうです、390°は30°からさらに1周していて、750°は30°からさらに2周しています。

1周=360°なので、1周するごとに360°づつ増えていきます。

これが、360°を超える角度ができる理由です。


見た目は全く一緒ですが、何周しているかで角度は変わってきます。

もちろん、負の角のときも同じで、時計回りに1周するごとに-360°づつ増えていきます。


3. ラジアンとは?弧度法と度数法

さて、ここからは角度の新しい単位について勉強していきます。

今までは°(度)を単位として角度を求めてきましたが、これからは別の単位を使っていきます。


それが、「ラジアン」です。


ラジアンを使った角度の表し方は弧度法といい、°(度)を使った角度の表し方は度数法といいます。


単位が違うということは、もちろん1°と1ラジアンは違うわけなのですが、
では1ラジアンはどのような大きさなのでしょうか。

教科書によって定義の言い方はいろいろですが、一番わかりやすい言い方は、

半径1の扇型の弧長が1になるときの角が1ラジアン

だと思います。図にしてみるとよりわかりやすいです。

言い換えると、「半径1の扇型の弧長=中心角のラジアン」になります。


では、360°は何ラジアンでしょう。

中心角が360°の扇型ってつまり円ですよね。

ということは、半径1の円の周の長さが360°のラジアンになります。


さて、半径1の円の周の長さの求め方は大丈夫ですよね。

直径×円周率なので、\(2\pi\)ですね。

つまり、「\(360^{\circ}=2\pi\)」という重要な関係式が得られました!

この関係さえ覚えてしまえば、どんな角度でもラジアンに変換できます!


逆にラジアンを度数法になおすこともできます!

次の例を解いてみましょう!


例題1

次の角を、度数は孤度に、孤度は度数に、それぞれ書き直せ。

(1) 180°    (2) -420°    (3) \(\displaystyle\frac{4}{15}\pi\)    (4) \(\displaystyle -\frac{\pi}{6}\)


 例題1の解説 

このような問題はどう解けばよいのでしょうか。

ポイントは「\(360^{\circ}=2\pi\)」を使うことです!


この関係式の両辺を2で割れば、\(180^{\circ}=\pi\)となりますね。

なので、(1)の答えは\(\pi\)ラジアンですね。


では、-420°のときはどうなるでしょうか?

これは、比の関係を使いましょう。

-420°が\(x\)ラジアンだとすると、「\(360^{\circ}=2\pi\)」だから、

\(-420^{\circ}:x=360^{\circ}:2\pi\)

となりますね。

あとはこの比を解けば、-420°が何ラジアンか求めることができますね!


では、(3)のように、弧度法を度数法になおすときはどうしますか?

そうですね、同じように比を使えば求められます。


\(\displaystyle\frac{4}{15}\pi\) が \(y^{\circ}\) だとすると、

\(\displaystyle y:\frac{4}{15}\pi=360^{\circ}:2\pi\)

となります。あとは同じように比を解くだけです。


ということで、「\(360^{\circ}=2\pi\)」という関係さえ覚えてしまえば、あとは比を使うだけで解けます!


問題1の解答は下にのせておきますので、自分で計算してみてくださいね!


例題1の解答

(1)  \( \pi \)

(2)  \(\displaystyle -\frac{7}{6}\pi \)

(3)  48°

(4)  -30°



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