三角関数の公式まとめ!!!加法定理や2倍角・半角・3倍角の公式や和積の公式など

三角関数
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三角関数の分野では公式がたくさん出てきます。

「公式が多すぎて覚え切れないよ〜」という人のために、重要な公式をまとめておくので、ぜひ活用してください!

こんな人に向けて書いてます!

  • 三角関数の公式を調べている人
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1. 三角関数の定義

まずは、三角関数を学ぶにあたって必ず覚えておかなければならない公式である三角関数の定義式から確認しましょう!

三角関数の定義

原点を中心とする半径\(r\)の円の上の点\( P(x,y) \)に対し、直線\(OP\)と\(x\)軸の正の部分がなす角を\(\theta\)としたとき、

 \(\displaystyle\sin{\theta}=\frac{y}{r}\)   \(\displaystyle\cos{\theta}=\frac{x}{r}\)   \(\displaystyle\tan{\theta}=\frac{y}{x}\)

シグ魔くん
シグ魔くん

こんなの見せられても何言ってるかわからないよ!!(怒)

という怒りの声が聞こえてきそうなので、下に図を載せておきますね。

ちなみに、三角比の定義は下の記事で詳しくしているので、そちらもぜひ見てください!

【数学Ⅰ】三角比の公式や表を調べている方はこちら【三角比】 - よくわかる!魔法の数学ノート
Photo by Rafael Garcin on Unsplash 今日はにまつわる定義や公式をまとめていくよ! ◆こんな方に向けて書いてます!◆ などをまとめた表を求めている方 三角比の公式を調べている方 「そもそもとかってなんだっけ?」という方 正弦定理や余弦定理についてははこちら! ochiyeo1311.ha...
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2. 三角関数の相互関係

さて、こちらも三角関数を学ぶ上で超重要な公式です!

しっかり覚えておきましょう!

三角関数の相互関係
  1.   \(\displaystyle\tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\)
  2.   \(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1\)
  3.   \(\displaystyle 1+\tan^2{\theta}=\frac{1}{\cos^2{\theta}}\)

3. (θ+π)や(-θ)などの三角関数

この辺の公式は似たようなものがたくさん出てくるので、なかなか覚えるのが大変だと思います。

正直、私もあんまり覚えていません(笑)

覚えていなくても、次に出てくる加法定理を覚えておけば、この辺の公式は導けるので、無理して覚える必要はないかもしれません。

(でも、学校の先生に怒られるので、ちゃんと覚えた方がいいですよ。)

\(\displaystyle(\theta+2n\pi)\)の三角関数

\(n\)は整数とする。

\( \sin{(\theta+2n\pi)}=\sin{\theta} \)  \( \cos{(\theta+2n\pi)}=\cos{\theta} \)  \( \tan{(\theta+2n\pi)}=\tan{\theta} \)

この公式は簡単なので大丈夫ですね。

2π つまり360°回転すればもとの値に戻ってきます。

\((-\theta)\)の三角関数

\( \sin{(-\theta)}=-\sin{\theta} \)  \( \cos{(-\theta)}=\cos{\theta} \)  \( \tan{(-\theta)}=-\tan{\theta} \)

実際のところ、sinとcosさえ覚えてしまえば、相互関係の式からtanも求めることができるので、tanについては覚えておかなくても大丈夫かもしれないですね。

\(\displaystyle\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\)の三角関数

\( \displaystyle\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}=\cos{\theta} \)  \( \displaystyle \cos{\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}=\sin{\theta} \)  \( \displaystyle \tan{\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}=\frac{1}{\tan{\theta}} \)

この公式は実際に直角三角形を書いてみれば確かめることができます。

詳しくはこちらの記事で!

【数学Ⅰ】三角比の公式や表を調べている方はこちら【三角比】 - よくわかる!魔法の数学ノート
Photo by Rafael Garcin on Unsplash 今日はにまつわる定義や公式をまとめていくよ! ◆こんな方に向けて書いてます!◆ などをまとめた表を求めている方 三角比の公式を調べている方 「そもそもとかってなんだっけ?」という方 正弦定理や余弦定理についてははこちら! ochiyeo1311.ha...

\(\displaystyle\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)\)の三角関数

\( \displaystyle\sin{\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)}=\cos{\theta} \)  \( \displaystyle \cos{\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)}=-\sin{\theta} \)  \( \displaystyle \tan{\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)}=-\frac{1}{\tan{\theta}} \)

\((\pi-\theta)\)の三角関数

\(\sin{(\pi-\theta)}=\sin{\theta}\)  \(\cos{(\pi-\theta)}=-\cos{\theta}\)  \(\tan{(\pi-\theta)}=-\tan{\theta}\)

\((\pi+\theta)\)の三角関数

\(\sin{(\pi+\theta)}=-\sin{\theta}\)  \(\cos{(\pi+\theta)}=-\cos{\theta}\)  \(\tan{(\pi+\theta)}=\tan{\theta}\)

3. 加法定理

次の公式もとても重要なのでしっかり覚えておきましょう!

加法定理

複号同順とする。

$$\sin{(\alpha\pm\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}\pm\cos{\alpha}\sin{\beta}$$

$$\cos{(\alpha\pm\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}\mp\sin{\alpha}\sin{\beta}$$

$$\tan{(\alpha\pm\beta)}=\frac{\tan{\alpha}\pm\tan{\beta}}{1\mp\tan{\alpha}{\beta}}$$

複号同順とは、 \(\pm\) や \(\mp\) があるときに、上側の符号だけを読むか、下だけの符号を読んでくださいということです。

たとえば、\(\sin{(\alpha\pm\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}\pm\cos{\alpha}\sin{\beta}\)は

$$\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}$$
$$\sin{(\alpha-\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}$$

ならOKですが、

$$\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}$$
$$\sin{(\alpha-\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}$$

のようにしてはいけません、という意味です。

また、cosの加法定理は \(\mp\) になっているので、符号を間違えないように注意してください!

そして、この加法定理を覚えていれば、さっきの項目で出てきた\((\pi+\theta)\)などの三角関数の公式は導けるので、それも覚えておきましょう!

4. 2倍角・半角・3倍角の公式

2倍角の公式

2倍角の公式は、加法定理で \(\beta=\alpha\) とすれば、簡単に導けます。

  \(\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\beta}\)

  \(\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}\)

  \(\hspace{2.5em}=1-2\sin^2{\alpha}\)

  \(\hspace{2.5em}=2\cos^2{\alpha}-1\)

  \(\displaystyle\tan^2{\alpha}=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2{\alpha}}\)

\(\cos{2\alpha}\)だけ式が3つあるのは、\(\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1\)を使って変形しているからです。

なので、(\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}\)さえ覚えておけばとりあえず大丈夫です!

半角の公式

半角の公式はcosの2倍角の公式から導けます。

数学Ⅲの積分でこの公式を使うことがあるので、しっかり覚えておきましょう!

\(\displaystyle\sin^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1-\cos{\alpha}}{2}\)  \(\displaystyle\cos^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1+\cos{\alpha}}{2}\)  \(\displaystyle\tan^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}\)

3倍角の公式

3倍角の公式は、\(3\alpha=\alpha+2\alpha\)として加法定理を用いることで導出できます。

\(\sin{3\alpha}=3\sin{\alpha}-4\sin^3{\alpha}\)  \(\cos{3\alpha}=-3\cos{\alpha}+4\cos^3{\alpha}\)

sinの3倍角の公式は、「サンシャインひいて夜風が身に染みる」という語呂合わせがよく使われています。

「サンシャイン(3sin) ひいて(マイナス) 夜(4) 風が 身(3) に染(sin) みる」

5. 和と積の公式

三角関数の和は、三角関数の積の形に表すことができ、
逆に、三角関数の積は、三角関数の和の形に表すことができます。

和と積の公式も加法定理から導けますが、ここでは説明を省略します。

この公式も数学Ⅲの積分で使うことがありますが、この公式を覚えるのは大変だと思うので、なるべく導き方を覚えておくようにしましょう!

導き方については、今後また別の記事で解説しておきます。

積→和の公式

  \(\displaystyle\sin{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}\{\sin{(\alpha+\beta)}+\sin{(\alpha-\beta)}\}\)

  \(\displaystyle\cos{\alpha}\sin{\beta}=\frac{1}{2}\{\sin{(\alpha+\beta)}-\sin{(\alpha-\beta)}\}\)

  \(\displaystyle\cos{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}\{\cos{(\alpha+\beta)}+\cos{(\alpha-\beta)}\}\)

  \(\displaystyle\sin{\alpha}\sin{\beta}=-\frac{1}{2}\{\cos{(\alpha+\beta)}-\cos{(\alpha-\beta)}\}\)

和→積の公式

  \(\displaystyle\sin{A}+\sin{B}=2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}\)

  \(\displaystyle\sin{A}-\sin{B}=2\cos{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}\)

  \(\displaystyle\cos{A}+\cos{B}=2\cos{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}\)

  \(\displaystyle\sin{A}-\sin{B}=-2\sin{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}\)

6. 三角関数の合成

三角関数の合成は難しいので、詳しい説明は別の記事にまとめておきます。

  \(a\sin{\theta}+b\cos{\theta}=\sqrt{a^2+b^2}\sin{(\theta+\alpha)}\)

ただし、\(\displaystyle\sin{\alpha}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},\cos{\alpha}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\)        

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