等差数列の一般項や和の公式をマスターしよう!

数列
Photo by Eugenia Grondona on Unsplash

今回は等比数列について学んでいきます!

パイ子ちゃん
パイ子ちゃん

等差数列の一般項って何?どうやって求めるの?

シグ魔くん
シグ魔くん

等差数列や等比数列の和の公式がわからない、、、

そんな悩みを抱えている人は是非最後まで読んでみてください!

いちばん最後に等差数列の和の公式のおもしろい(?)覚え方も書いているのでお見逃しなく!

こんな人に向けて書いてます!

  • 等差数列って何?という人
  • 等差数列の一般項がわからない人
  • 等差数列の和を求めるのが苦手な人
スポンサーリンク

1. 等差数列の定義

さて、そもそも等差数列とは何なのでしょうか。


簡単に言うと、同じ数ずつ増えていく数列のことです。



例えば、

$$1,4,7,10,13,16,\cdots$$

という数列はどれも3ずつ増えているので等差数列になります

言い換えると、隣り合った項の差がどれも3になっていますね。


そして、この差(上の例では3)に名前がついていて、公差といいます。


他には、

$$10,20,30,40,50,\cdots$$

という数列も等差数列ですね。(公差は10)


また、

$$-3,-5,-7,-9,-11,\cdots$$

のように公差が負の数になっている等差数列もあります。(公差は-2)


では、この辺で等差数列の定義について一度まとめておきます!

等差数列

数列\(\{a_n\}\)において、隣り合った2つの項の差が一定である数列のことを等差数列といい、この差のことを公差という。

すなわち、初項を\(a\)、公差を\(d\)とすると、

$$a_{n+1}-a_{n}=d$$

が成り立つ。


途中で出てきた\(a_{n+1}-a_{n}=d\)は、等差数列の漸化式になっていますが、漸化式についてはまた別の記事で解説する予定です。


なので、今の段階では漸化式が何なのかわからなくても大丈夫です!

スポンサーリンク

2. 等差数列の一般項

次は一般項について勉強しましょう!

一般項はこれから数列を学ぶ上で頻繁に使う大事な概念なので、しっかり覚えましょう!


さて、最初に基本的なところから確認していきます。



\(\{a_n\}\)が数列のとき、それぞれの項を\(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots\)のように表し、順番に第1項、第2項、第3項、… 、第\(n\)項、… と呼びます。


第1項には特別に初項という名前がついているので、それも覚えておいてください。


そして、第\(n\)項のことを一般項と呼ぶわけです。



例えば、数列\(\{a_n\}\)が

$$2,4,6,8,10,\cdots$$

で定められているとしましょう。


このとき、初項\(a_1=2\)、第2項\(a_2=4\)、第3項\(a_3=6\)ですね。


では、第\(n\)項\(a_n\)はどう表せるでしょうか。



そうですね、偶数なので\(a_n=2n\)と表せそうです。


実際に\(n=1,2,3\)を代入してみてみると、\(a_1=2,a_2=4,a_3=6\)にちゃんとなっていると思います。


ということで、数列\(\{a_n\}\)の一般項は\(a_n=2n\)となるわけです。



さて、今回は偶数だったのですぐに\(a_n=2n\)と出せましたが、もっと複雑な等差数列が出てきたときはどのようにして一般項を出せばいいのでしょうか


そこで、次の公式が登場します。

等差数列の一般項

数列\(\{a_n\}\)の初項が\(a_1\)、公差が\(d\)のとき、\(\{a_n\}\)の一般項は、

$$a_n=a+(n-1)d$$

で表される。


なんでこのような公式が出てくるのか解説します。

下の図を確認してみてください。


等差数列なので、\(a_1,a_2,a_3,\cdots\)の値は公差\(d\)ずつ増えていきます。

このとき、

    初項\(a\)に公差\(d\)を1回足すと\(a_2\)になり、
    初項\(a\)に公差\(d\)を2回足すと\(a_3\)になり、
    初項\(a\)に公差\(d\)を3回足すと\(a_4\)になりますよね?

ということは、


初項\(a\)に公差\(d\)を\((n-1)\)回足すと\(a_n\)になるということなので、この関係を式にすると、

$$a_n=a+(n-1)d$$

となるわけです。


しっかり理屈まで覚えておくと忘れても思い出せるのでいいですよ!

3. 等差数列の和の公式

最後に等差数列の和の公式について勉強しましょう。


例えば、「数列\(\{a_n\}\)の初項から第100項までの和を求めよ」と言われたときに、和の公式が活躍します。


ゴリ押しで100項まで足していくのは大変ですもんね(笑)



最初に公式を紹介します。


なぜこのような公式になるのかはその後に解説するので、気になる人はぜひそちらもみてみてくだいさいね!

等差数列の和の公式

初項\(a\)、公差\(d\)、末項\(l\)のとき、初項から第\(n\)項までの和を\(S_n\)とすると、

  1.   \(\displaystyle S_n=\frac{1}{2}n(a+l)\)
  2.   \(\displaystyle S_n=\frac{1}{2}n\{2a+(n-1)d\}\)
シグ魔くん
シグ魔くん

等差数列の和の公式って2つあるの!?!?

と思った人もいるかもしれませんが、正直 1. の方だけ覚えておけば大丈夫です。


というのも、末項(つまり第\(n\)項)がわからないときに 2. の公式を使うのですが、第\(n\)項の求め方は一般項のところでやりましたよね。


つまり、

$$l=a_n=a+(n-1)d$$

という関係になっているので、これを 1. に代入すると 2. が出てきます。


なので、1. だけ覚えておけば、あとは一般項の式から 2. は出せるので覚えてなくても大丈夫です。



では、公式 1. はどのようにして示されるのでしょうか。


ここでは厳密な証明は避けて、できるだけ直感的に理解できるようにします。



数列を下の図のようなブロックに分けて考えます。

各項の値とブロックの面積が対応していると考えてください。

ブロックの高さも 1 ということにしましょう。

すると、このブロックの面積の合計が\(S_n\)になります。


このブロックをもう1個作って、お好み焼きのようにひっくり返します。

そして2つをくっつけると長方形ができますよね?

(なんか pに見えますけど、これは dがひっくり返ったものです)


もちろん、この長方形の面積は\(S_n\)2つ分ということで\(2S_n\)と表せます。


一方、長方形の縦は\(n\)になります。(全部で\(n\)項あるので)

横は、末項\(l\)と\(a\)があるので、\(a+l\)になります。


「長方形の面積=縦×横」なので、

$$2S_n=n(a+l)$$

となるので、両辺を2で割れば、等差数列の和の公式の 1. が示されます。


このように図形的に解釈しておくと忘れにくくていいですよ!


等差数列をマスターしたら次は等比数列について学習しよう!!

数列数学B
スポンサーリンク
OchibaAtsuoをフォローする
ますますmathが好きになる!魔法の数学ノート

コメント

タイトルとURLをコピーしました