等比数列

数列
Photo by Caleb Riston on Unsplash

前回は等差数列について学んだので、今回は等比数列について学んでいきます。

等差数列の記事を見ていない人は、そちらも見てみてくださいね!

等差数列の一般項や和の公式をマスターしよう!
今回は等比数列について学んでいきます!パイ子ちゃん等差数列の一般項って何?どうやって求めるの?シグ魔くん等差数列や等比数列の和の公式がわからない、、、そんな悩みを抱えている人は是非最後...

こんな人に向けて書いてます!

  • 等比数列って何?という人
  • 等比数列の一般項がわからない人
  • 等比数列の和を求めるのが苦手な人
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1. 等差数列の定義

さて、今回は等比数列について学んでいきます。

等比数列と名前が似ていますが、違いはどこにあるのでしょうか。


復習ですが、「等差数列」とはどんな数列でしたか?

そうです、同じ数ずつ増えていく数列のことです。

では、「等比数列」はどんな数列かと言うと、同じ比で増えていく数列になっています。

パイ子ちゃん
パイ子ちゃん

同じ比ってどういうこと!?!?

となっているかもしれませんが、下の例を見ればすぐに理解できます。



例えば、

$$1,2,4,8,16,32,\cdots$$

という数列はどれも2倍ずつ増えているので等差数列になります

言い換えると、隣り合った項の比がどれも2になっていますね。


そして、この比(上の例では2)のことを公比といいます。
等差数列のときの公差とにたようなものです。


他には、

$$3,9,27,81,243,\cdots$$

という数列は公比が3の等比数列になります。


また、

$$1,-\frac{1}{2},\frac{1}{4},-\frac{1}{16},\frac{1}{32},\cdots$$

は公比が\(-\frac{1}{2}\)の等比数列です。
このように、公比がマイナスだったり分数だったりすることもあります。


では、この辺で等差数列の定義について一度まとめておきます!

等差数列

数列\(\{a_n\}\)において、隣り合った2つの項の比が一定である数列のことを等比数列といい、この差のことを公比という。

すなわち、初項を\(a\)、等比を\(r\)とすると、

$$a_{n+1}=a_nr$$

が成り立つ。

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2. 等差数列の一般項

次は一般項について勉強します!

そもそも一般項ってなんでしたっけ?

簡単に説明すると、一般項とは第\(n\)項のことです。

忘れた方は、前回の等差数列の記事で説明しているので、そちらで復習しておいてくださいね!


例えば、数列{\(a_n\)}が\(3,9,27,\cdots\)のようなとき、

  • 初項(第1項)が\(a_1=3=\times3^1\)、
  • 第2項が\(a_2=9=\times3^2\)、
  • 第3項が\(a_3=27=\times3^3\)

となっているので、一般項つまり第\(n\)項は、\(a_n=3^n\)と表せるわけです。


しかし、毎回こんなに簡単に求められるとは限らないので、そんなときのために次の公式が出てきます。

等比数列の一般項

数列\(\{a_n\}\)の初項が\(a_1\)、公比が\(r\)のとき、\(\{a_n\}\)の一般項は、

$$a_n=a\cdots r^{n-1}$$

で表される。


公式の解説もしておきます。

下の図を確認してみてください。


等比数列なので、\(a_1,a_2,a_3,\cdots\)の値は公比\(r\)倍ずつ増えていきます。

このとき、

    初項\(a\)に公比\(r\)を1回足すと\(a_2\)になり、
    初項\(a\)に公比\(r\)を2回足すと\(a_3\)になり、
    初項\(a\)に公比\(r\)を3回足すと\(a_4\)になりますよね?

ということは、


初項\(a\)に公比\(r\)を\((n-1)\)回かけると\(a_n\)になるということなので、この関係を式にすると、

$$a_n=ar^{n-1}d$$

となるわけです。


\(n-1\)になっているところに注意しましょう!

3. 等差数列の和の公式

最後に等差数列の和の公式について勉強しましょう。

等比数列の和の公式

初項\(a\)、公比\(r\)、末項\(l\)のとき、初項から第\(n\)項までの和を\(S_n\)とすると、

\(r\neq1\)のとき、

$$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$$

\(r=1\)のとき、

$$S_n=na$$

パイ子ちゃん
パイ子ちゃん

1-rとr-1のどっちを使えばいいの?

という疑問があると思いますが、別にどっちでもいいです(笑)


一応、公比\(r\)が1より小さいときは\(1-r\)の方を、公比\(r\)が1より大きいときは\(r-1\)の方を使うと負の数にならないというメリットはありますが、2つ覚えるのが嫌だという人はどっちかだけ覚えていても大丈夫です。

シグ魔くん
シグ魔くん

なんで\(r=1\)のときは別の公式なの?

と思う人もいるかもしれませんが、\(\displaystyle\frac{a(1-r^n)}{1-r}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\)の公式に\(r=1\)を代入すると分母が0になってしまうので使うことができません。

ですが、公比\(r=1\)のときはそもそも各項の値が変わらないので、\(r\times a\)で求めることができます。


例えば、初項\(a=2\)、公比\(r=1\)の数列は\(2,2,2,\cdots\)のような数列なので、この数列を第\(n\)項まで足すと、その和\(S_n\)は\(a\times n\)になります。


\(n\neq1\)のときの公式の解説も一応しておきます。

下の図をみてください。

\(S_n\)に公比\(r\)をかけると、図のように\(rS_n\)が出てきます。

初項\(a\)は\(rn\)に、第2項の\(ar\)は\(ar^2\)のように、第3項の\(ar^2\)は\(ar^3\)のように、ひとつずれて求まります。

そして、\(S_n\)から\((1-r)S_n\)を引くと、図のように真ん中の部分が全部0になります。

最後に両辺を\((1-r)\)で割れば、和の公式が出てきます!

数列数学B
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