Σ(シグマ)嫌いを克服しよう!Σの公式まとめ!

数列
Photo by Douglas Bagg on Unsplash

全国の Σ 嫌いのみなさん、こんにちは。

パイ子ちゃん
パイ子ちゃん

Σ の意味がわからなくて吐き気がする!

シグ魔くん
シグ魔くん

Σの計算がうまくできなくてイライラする!

といった悩みを抱えている人は多いでしょう。

そんなあなたのために、今回はΣの使い方や公式についてまとめてみました!

こんな人に向けて書いてます!

  • Σ の意味がわからないという人
  • Σ の公式を調べている人
  • Σの計算が苦手な人
スポンサーリンク

1. そもそもΣって何なの?

これからΣについて勉強していくわけですが、そもそもΣが何なのかわからないという人も多いと思います。

まずは、Σにどういう意味があるのかを確認していきましょう!

Σは数列の足し算を省略して書くために使います。

例えば、数列\(\{a_n\}\)の初項から第\(n\)項までの和を書くときに

$$a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n$$

と書くと、何回も\(a\)や\(+\)を書く必要があり面倒ですよね。

そこで、このような和を、\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\)というふうに書きます。

このように書けば短く表すことができていいですよね!


つまり、

$$\sum_{k=1}^{n}=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n$$

となります。


スポンサーリンク

2. Σの公式

シグマには重要な公式があるので、しっかり覚えておきましょう!

  1.   \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a=na\)  (\(a\)は定数)
  2.   \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)\)
  3.   \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)
  4.   \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=\left\{\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2\)


1. の「\(a\)は定数」というのは、\(k\)と関係ない文字や数字であるという意味です。 


たとえば、\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x\)は、Σによって\(k\)が1から\(n\)まで動いても、\(x\)は影響を受けないので、\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x=nx\)となります。

また、\(1^2+2^2+\cdots+10^2\)のような和は、Σを使うと\(\displaystyle\sum_{k=1}^{10}k^2\)とできるので、上の公式 3. を使うと、

$$1^2+2^2+\cdots+10^2=\sum_{k=1}^{10}k^2=\frac{1}{6}\times10\times11\times21=385$$

と簡単にも求めることができます。


また、Σには次の線形性と呼ばれる性質があります。

  1.   \(\displaystyle\sum_{k=1}^n(a_k+b_k)=\sum_{k=1}^na_k+\sum_{k=1}^nb_k\)
  2.   \(\displaystyle\sum_{k=1}^n{ca_k}=c\sum_{k=1}^na_k\)  (\(c\)は定数)


これらの公式を活用して、次のような問題を解いてみましょう!

  問題1  

次の和を求めよ。

(1)  \(\displaystyle\sum_{k=1}^n(3k+1)\)

(2)  \(1\cdot3+2\cdot4+3\cdot5+\cdots+10\cdot12\)


(1)は上の公式を使って簡単に求めることができますが、(2)の方はそもそもΣが使われていないので、まずは和をΣをつかって表す必要があります。

掛け算されている左の方は、\(1,2,3,\cdots,10\)と増えているので、第\(n\)項は\(n\)になります。

  • 第1項:1
  • 第2項:2
  • 第3項:3
  • \(\hspace{2em}\vdots\)
  • 第10項:10
  • 第\(n\)項:\(n\)

掛け算されている右の方は、\(3,4,5,\cdots,12\)と増えているので、第\(n\)項は\(n+2\)になります。

  • 第1項:3
  • 第2項:4
  • 第3項:5
  • \(\hspace{2em}\vdots\)
  • 第10項:12
  • 第\(n\)項:\(n+2\)


なので、一般項は\(n\cdot(n+2)\)となるので、(2)はシグマを使うと\(\displaystyle\sum_{k=1}^{10}k(k+2)\)と表せます。

Σで表すことができたら、上の公式を使って和を求めましょう。

  解答1  

(1) \(\displaystyle \sum_{k=1}^n(3k+1)=\sum_{k=1}^n3k+\sum_{k=1}^n1\)

\(\displaystyle\hspace{4em}=3\sum_{k=1}^nk+\sum_{k=1}^n1\)

\(\displaystyle\hspace{4em}=\frac{3}{2}n(n+1)+n\)

\(\displaystyle\hspace{4em}=\frac{3}{2}n^2+\frac{5}{2}n\)


(2) \(\displaystyle1\cdot3+2\cdot4+3\cdot5+\cdots+10\cdot12\)\(\displaystyle=\sum_{k=1}^{10}k(k+2)\)であるから、求める和は、

\(\displaystyle\hspace{2em}\sum_{k=1}^{10}k(k+2)\)

\(\displaystyle\hspace{1em}=\sum_{k=1}^{10}(k^2+2k)\)

\(\displaystyle\hspace{1em}=\sum_{k=1}^{10}k^2+2\sum_{k=1}^{10}k\)

\(\displaystyle\hspace{1em}=\left(\frac{1}{6}\times10\times11\times21\right)+2\times\left(\frac{1}{2}\times10\times11\right)\)

\(\displaystyle\hspace{1em}=385+110=495\)

数列数学B
スポンサーリンク
OchibaAtsuoをフォローする
ますますmathが好きになる!魔法の数学ノート

コメント

  1. Yang より:

    初めてブログを拝見しました。43歳になりますが、非常にわかりやすく理解が進みました。学生時代にこのように学びたかったです。”最初のkがlでもいいよ”はわからない人間からすると凄い大きな情報です。高校数学で挫折した人間なのでこのような先生に出会いたかったです。

  2. Yang より:

    追加ですが、未だに”行列”が理解できません(何に使うかわからないという意味です)。このブログに解説いただけるとありがたいです。
    あと順列と組み合わせの解説もこの年になって初めて理解できました。

タイトルとURLをコピーしました