階差数列

数列
Image by Peter H from Pixabay

前回まで等差数列と等比数列について復習してきました。

今回はもう一つの重要な数列である階差数列について学んでいきます。

階差数列は等差・等比数列に比べて難しいところですが、しっかり公式を覚えていけば大丈夫なので頑張りましょう!

また、階差数列を学ぶにあたって、等差・等比数列がちゃんとわかっていることが前提として必要です。

もし、等差・等比数列があやしいという人がいたら、下の記事で復習してきましょう!

こんな人に向けて書いてます!

  • 「階差数列ってなんぞや?」という人
  • 階差数列の一般項を求めるのが苦手な人
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1. 階差数列とは?

まず、階差数列とは何なのかについて説明します。

いきなり例を出しますが、下の数列\(\{a_n\}\)にどのような特徴があるかわかりますか?

$$\{a_n\}\ :\ 2,5,10,17,26,37,\cdots$$


等差数列や等比数列と違って、なかなか特徴が掴みにくいと思います。

そこで、隣り合った項を引いて新しく数列\(\{b_n\}\)を作ってみます。


たとえば、新しい数列\(\{b_n\}\)の第1項は\(5-2=3\)、第2項は\(10-5=5\)のようになります。

すると、数列\(\{b_n\}\)は次のようになります。

$$\{b_n\}\ :\ 3,5,7,9,11,\cdots$$


\(\{b_n\}\)ならどんな数列かわかりますよね。

そうです、\(\{b_n\}\)は初項3、公差2の等差数列になっています。


このように、\(\{a_n\}\)の後ろから前を引いてできる数列\(\{b_n\}\)を、\(\{a_n\}\)の階差数列といいます。


数列\(\{a_n\}\)がどんな数列かわからないときは、階差数列\(\{b_n\}\)を求めると何かしらの特徴が見えてくることがあります。

では、階差数列の定義をまとめておきます。

階差数列

数列\(\{a_n\}\)に対して、

$$b_n=a_{n+1}-a_n$$

によって定まる数列\(\{b_n\}\)を、\(\{a_n\}\)の階差数列という。

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2. 階差数列の一般項

先ほどの例で、

$$\{a_n\}\ :\ 2,5,10,17,26,37,\cdots$$

の階差数列は、

$$\{b_n\}\ :\ 3,5,7,9,11,\cdots$$

のように初項3、公差2の等差数列になっていると説明しましたが、では\(\{a_n\}\)の一般項はどのようにして表されるのでしょうか。


まずは、その前に復習という意味も込めて\(\{b_n\}\)の一般項を求めましょう。

等差数列の一般項は、

$$a_n=a+(n-1)d$$

でしたよね。

ということは、

$$b_n=3+(n-1)\times 2=2n+1$$

と表されます。

ここから、\(\{a_n\}\)の一般項を求めてみます。


ここで、1. の階差数列の定義を思い出しましょう。

\(b_n=a_{n+1}-a_n\)を変形すると、\(a_{n+1}=a_n+b_n\)となります。

つまり、下の図のような関係が成り立ちます。

これを\(a_n\)まで続けていくと、

$$a_n=a_1+b_1+b_2+b_3+\cdots+b_{n-1}$$

となります。


ここで、もっとスマートに表すために前回学んだΣを使います。

すると、

$$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k$$

とできます。

階差数列の一般項

数列\(\{a_n\}\)の階差数列を\(\{b_n\}\)とすると、\(n\geq2\)のとき、

$$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k$$

となる。

ここで、注意すべき特徴として、Σの上は\(n\)ではなく\(n-1\)になります。

そのため\(n=1\)とすると、Σが\(k=1\)から\(0\)までとなり意味がわからなくなってしまいます。

そのため、\(n\geq2\)のときにしか使うことができず

さらに、\(a_n\)を求めるためには\(a_1\)がわかっている必要があります。


では、最初の例に出した

$$\{a_n\}\ :\ 2,5,10,17,26,37,\cdots$$

の一般項を求めてみましょう。

階差数列\(\{b_n\}\)の一般項は\(b_n=2n+1\)と表されるので、公式に当てはめると、

\(n\geq2\)のとき、

$$b_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k=2+\sum_{k=1}^{n-1}(2k+1)$$

となります。Σの上をnにしないように気をつけてくださいね!


さて、\(\sum_{k=1}^{n-1}(2k+1)\)の求め方は覚えていますか?

忘れたという人は前回の記事を見て復習してくださいね!

Σの公式を使うと、

$$\sum_{k=1}^{k-1}(2k+1)=2\sum_{k=1}^{k-1}k+\sum_{k=1}^{n-1}1=(n-1)n+(n-1)=n^2-1$$

となるので、\(n\geq2\)のとき、

$$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k=2+n^2-1=n^2+1$$

とできます。


実際\(n=2\)を代入すると\(a_2=2^2+1=5\)であり、

実際\(n=3\)を代入すると\(a_3=2^3+1=9\)となるのであってそうです。


さらに、試しに\(n=1\)を代入してみると、\(a_1=2^1+1=3\)となるので\(n=1\)のときも成り立ちます。

なので、\(n=1\)のときもまとめて\(a_n=n^2+1\)が答えとなります。


階差数列はこのように\(n\geq2\)のときと\(n=1\)のときを別々に求めますが、結局一つの答えになることが多いので、最後に\(n=1\)を代入してみることを忘れないようにしましょう!

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