部分分数分解をして数列の和を求める方法

数列
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シグ魔くん
シグ魔くん

数列の授業で「部分分数分解」とかいうのが出てきたんだけど、どうやってやればいいのか全然分かんないよ。。。

パイ子ちゃん
パイ子ちゃん

そもそも何のために部分分数分解をするの?

 

といった悩みを抱えている人も多いと思います。

今回は部分分数分解のやり方と、それをつかった数列の和を求める方法を紹介していきます。

こんな人に向けて書いてます!

  • 部分分数分解のやり方がわからない人
  • 部分分数分解を使って数列の和を求める方法を知りたい人
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1. 部分分数分解とは?

まずそもそも「部分分数分解」とは何なのでしょうか。

簡単に説明すると通分の逆と言えると思います。

例えば、\(\displaystyle\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\)を通分すると\(\displaystyle\frac{2}{(x-1)(x+1)}\)となります。

逆に、\(\displaystyle\frac{2}{(x-1)(x+1)}\)を\(\displaystyle\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\)のように分母を分けて複数の項に分けることを部分分数分解といいます。

部分分数分解と通分の関係
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2. 部分分数分解のやり方

さて、さきほどは部分分数分解とは何かを説明しました。

ここからは実際に部分分数分解の方法を説明していきます。

例として、\(\displaystyle\frac{1}{(x-2)(x+3)}\)の部分分数分解を考えてみます。


まずは単純に考えると分母が分かれるので、

$$\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+3}$$

とできそうな気がします。

そこで、部分分数分解は通分の逆だったので、\(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+3}\)を通分して元に戻るか確かめてみましょう。


すると、

$$\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+3}=\frac{(x+3)-(x-2)}{(x-2)(x+3)}=\frac{5}{(x-2)(x+3)}$$

となり、分子が1ではなく5になっています。


パイ子ちゃん
パイ子ちゃん

えー、じゃあだめじゃん。。。

と思ったかもしれませんが、案ずることなかれ。

分母の5が邪魔なら\(\displaystyle\frac{1}{5}\)をかけてあげれば良さそうですよね。

つまり、

$$\frac{1}{(x-2)(x+3)}=\frac{1}{5}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+3}\right)$$

とすれば良さそうです。


このように、部分分数分解するときは、まず分母を分けてみて、そしたら通分してみて元に戻るか確認してみます。

もし、分子が思った数にならなかったら、元に戻るように何かをかけて調整しましょう。


ちなみに、\(\displaystyle\frac{1}{(x-2)(x+3)}=\frac{1}{5}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+3}\right)\)の\(\displaystyle\frac{1}{5}\)はわざわざ通分しなくても、分母の-2と3に注目すれば、3-(-2)=5がでてきます。


一応公式としてもまとめておきましょう。

部分分数分解

$$\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{1}{a-b}\left(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x-b}\right)$$

3. 部分分数分解と数列の和

ではここからは部分分数分解を利用して数列の和を求めてみます。

  問題1  

  \(\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}\)を求めよ。

以前の記事でΣの公式について紹介しましたが、今回の分数の形ではΣの公式が使えません。

そこで、今学んだ部分分数分解を使ってみましょう。

すると、

\(\displaystyle\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\)

となります。実際に右辺を通分すると左辺に一致します。

この状態でΣを使うと、

$$\sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)$$

となりますね。

シグ魔くん
シグ魔くん

え、部分分数分解したからって何になるの?

となっているかもしれませんが、ここでΣを外して和の形になおすとすごいことが起きます。

部分分数分解と数列の和

このように隣り合った2つの項が消しあって、最終的には最初と最後の項のみが残ります。


今回のように分数の形の数列の和を求めるときは、部分分数分解を使うことが多いので覚えておきましょう!

数列数学B
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