複素数平面【入門編】「複素数と虚数とは?何が違うの?」

数学Ⅲ

今回から複素数平面の分野について勉強していきます。

みなさんは複素数平面が得意ですか?

おそらく大半の人は苦手意識を持っていると思います。

それもそのはず。

複素数平面は新課程になって新しく組み込まれた単元であり、

本来なら大学に入ってから習う単元だったのです。

なので、難しいのは当然ですし、できないからと言って過度に落ち込む必要もありません。

かといって、本当にできないままでいるとテストや入試で痛い目をみることになります。(笑)

ということで、今回から複素数平面が苦手な方のために、なるべくわかりやすく解説していくのでよろしくお願いします!

こんな人に向けて書いてます!

  • 複素数平面アレルギーの人
  • 複素数平面が解けるようになりたいという人
  • そもそも複素数って何?という人
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1. 虚数は宇宙人?

複素数について学ぶ前に、まずは虚数から勉強する必要があります。

次の2次方程式の解はいくつでしょうか:

$$x^2+1=0$$

パイ子ちゃん
パイ子ちゃん

移項すると、\(x^2=-1\)だから、、、

あれ?でも左辺は2乗しているからマイナスにならないよ?

シグ魔くん
シグ魔くん

解の公式を使えばいいじゃん。

\(\displaystyle x=\frac{-0\pm\sqrt{0^2-4\times1\times 1}}{2\times1}=\pm\frac{\sqrt{-4}}{2}=\pm\sqrt{-1}\)

だね!

パイ子ちゃん
パイ子ちゃん

でも、ルートの中がマイナスっていいのかな。。。?

今まで、分数や負の数、ルート、log、など様々な数を学んできましたが、実は今回の方程式はそれらの数で表すことができません。

なので、新たな数の概念を導入する必要があります。

そこで登場するのが虚数です。

虚数

\(x^2+1=0\)の解、すなわち2乗すると\(-1\)になる数を虚数単位といい、\(i\)で表す。

また、\(bi\ (b\neq0)\)で表される数を虚数という。

ここで、かしこい方は

シグ魔くん
シグ魔くん

え、でも2乗して\(-1\)になる数なんて存在するの??

といった疑問が生じていると思います。

そうです、虚数は現実世界には存在しません。

そのため、実数が地球人とすれば、虚数は宇宙人みたいなものです。

宇宙人は存在するかしないかはさておき、実数とは別の存在になります。

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2. 新たな世界、複素数 へ

ここで、これから学ぶ複素数の定義もまとめておきます。

シグ魔くん
シグ魔くん

虚数と複素数って同じ意味でしょ?

と思っている人は大きな間違いなので気をつけてください。

複素数とは、実数と複素数を合わせたものです。

そのため、\(1\)や\(-10\)のような数も複素数ということになります。

複素数

\(a,b\)は実数とする。

\(a+bi\)で表される数のことを複素数という。

ということなので、例えば\(1\)も\(1+0i\)という形で表すことができるので複素数になります。

複素数の定義から説明すると、虚数は複素数のうちで\(a=0\)となるものということになります。
(正確には、\(a=0\)かつ\(b\neq0))

複素数の定義をしたので、ここからいよいよ複素数平面について学んでいきましょう!

3. 複素数平面とは

複素数とは\(a+bi\)で表される数であることを先ほど説明しました。

複素数平面では、この複素数をxy平面上であらわします。

その前に実部と虚部の定義をします。

実部・虚部

\(a,b\)を実数とする。

複素数\(z\)が\(a+bi\)で表されているとき、

\(a\)を\(z\)の実部、\(b\)を\(z\)の虚部という。

例えば、複素数\(3-2i\)の実部は\(3\)、虚部は\(-2\)となります。

虚部が\(-2i\)ではないことに注意しましょう。


実部\(a\)を\(x\)座標として、虚部\(b\)を\(y\)座標として\(xy\)平面に表したものを複素数平面と呼びます。


また、\(x\)軸のことを実軸、\(y\)軸のことを虚軸といいます。

複素数平面


これで、複素数平面が何なのかがわかったと思います。

今日はここまで!

次回からはこの複素数平面にどのような性質があるのかをみていきます!

数学Ⅲ複素数平面
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