指数関数【指数法則編①】0乗するとなんで 1 になるの?1/2乗や-1乗って何者?そんな悩みを解決します!

指数関数・対数関数

\(2^2\)は2を2回かけるから、\(2\times2=4\)

\(2^3\)は2を3回かけるから、\(2\times2\times2=8\)

これはあなたも簡単に理解できますよね。

では、次の問題はどうでしょう?

\(2^0\)や\(2^{-1}\)や\(2^\frac{1}{2}\)の値は?

シグ魔くん
シグ魔くん

\(2^0\)は\(2\)を\(0\)回かけるから\(0\)?

こんなふうに考えたあなた。

気持ちはわかりますが、それは残念な間違いです。

パイ子ちゃん
パイ子ちゃん

わたし知ってるよ!

\(0\)乗すると\(1\)になるんでしょ!!


正解です。

では、何で0乗すると1になるか説明できますか?

0乗やマイナス乗の意味をちゃんと理解している人は意外と少ないのです。

ぜひ、この記事を最後まで読んで、指数マスターになりましょう!

こんな人に向けて書いてます!

  • 0乗の意味がわからない人
  • -1乗のような指数がマイナスのときがわからない人
  • 1/2乗のような指数が分数のときがわからない人
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1. 0乗すると何で1になるの?

さて、まず最初に結論から述べます。

\(a\neq0\)のとき、

$$a^0=1$$

結果はとてもシンプルです。

0以外の数なら、どんな数でも0乗すると1になります。

そうなると当然次のような疑問があると思います。

シグ魔くん
シグ魔くん

じゃあ\(0^0\)は何になるの?

これは非常に難しい問いで、実は明確な定義はありません。

なので、これから\(0^0\)がいくつか問われることはまずないので、\(0^0\)については気にしなくて大丈夫です。

0以外の数なら、どんな数でも0乗したら1になります。

たとえば、\(2^0\)も\(3^0\)も\(100^0\)も\(-1000\)^0も全部1になります。

パイ子ちゃん
パイ子ちゃん

\(0\)回かけるっていう意味なんだから、\(0\)になるんじゃないの?

と考える人が多いと思いますが、それは間違いです。


では、ここからはなぜ0乗すると1になるのかを考えていきましょう。


ということで、まずは簡単な問いをします。

問1:\(2^1,2^2,2^3,\cdots\)と増やしていくと、その値は何倍ずつ増えますか?


そうですね、\(2,4,6,\cdots\)というかんじで2倍ずつ増えていきます。

数列でいうところの公比2の等比数列です。


まあ、当たり前ですよね。(笑)

  • \(2^1=2\)
  • \(2^2=2\times2=4\)
  • \(2^3=2\times2\times2=8\)

となるので、2をかける回数が増えていくわけだから2倍ずつ増えていくのも当たり前だと思います。


では、次の問題です。

問2:\(2^1\)は\(2^0\)を何倍した値になりますか?
(\(2^0\)の値はまだわからない状態です。)

シグ魔くん
シグ魔くん

\(2^1\)は2だけど、\(2^0\)はわかんないから、何倍かもわからなくない?

という人は先ほどの問いをよく思い出してください。


\(2^1,2^2,2^3,\cdots\)はどれも2倍ずつ増えていましたね。

ということは、\(2^0\)から\(2^1\)も2倍になっているはずですよね。

つまり、\(2^1\)は\(2^0\)に2をかけた数ということになります。


式にすると、

$$2^1=2^0\times2$$

もちろん\(2^1=2\)なので、両辺を2で割れば、

$$2^0=1$$

となりますね。


\(3^0\)や\(4^0\)でも同じことなので、復習にやってみてもいいかもしれませんね。


これで、どんな数でも0乗すれば1になることがわかりました!

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2. マイナス乗するとどうなる?

0乗が求められたところで、次はマイナス乗について考えていきましょう!


実は、マイナス乗も0乗の考え方と同じ考え方で求められます。

まずは、\(2^{-1}\)の値を考えます。

問3:\(2^{-1}\)の値はいくらになるか考察せよ。

考え方は0乗のときと同じです。

つまり、「\(2^{0}\)は\(2^{-1}\)を何倍した数ですか?」


もう余裕ですよね。

そうです、\(2^0\)は\(2^0{-1})に2をかけた数です。

式にすれば、「\(2^0=2^{-1}\times2\)」となります。


\(2^0=1\)というのは先ほど示したので、

$$1=2^{-1}\times2$$

となります。


そしたら両辺を2で割り、右辺と左辺を入れ替えると、

$$2^{-1}=\frac{1}{2}$$

となります。

これで\(2^{-1}\)も求められました。


\(2^{-2},2^{-3},\cdots\)についても同じようにすると、

$$2^{-2}=\frac{1}{4},2^{-3}=\frac{1}{8}$$

となることがわかります。


図にすると下のようになります。


さて、上の図にも書きましたがが、

\(2^1,2^2,2^3,\cdots\)は2倍ずつ増えていくのに対し、

(2^{-1},2^{-2},2^{-3},\cdots\)は\(\displaystyle\frac{1}{2}\)倍ずつ増えていきます。


つまり、\(2^0\)を境目として、\(2^{a}\)と\(2^{-a}\)が逆数の関係になっています。

\(n\)が正の整数のとき、

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

\(n\)が正の整数と書きましたが、実際には\(n\)は正の有理数であれば、上の公式が使えます。

3. 分数乗の意味

最後は分数乗について考えます。

まず、\(2^{\frac{1}{2}}\)の値を求めてみましょう。

\(2^{\frac{1}{2}}\)は次の図のような関係にあります。

ということは、

\(2^0\)に\(2^\frac{1}{2}\)を2回かけると\(2^1\)になる

ということになります。

そこで、\(x=2^\frac{1}{2}\)とすると、次のような式が成り立ちます。

$$2^0\times x\times x=2^1$$

\(2^0=1\) , \(2^1=1\)なので、上の式を整理すると、

$$x^2=1$$

となりますね。

ここで、\(x=2^\frac{1}{2}>0\)であるとすれば、上の方程式から、

$$x=2^\frac{1}{2}=\sqrt{2}$$

となります。

これで、\(2^\frac{1}{2}=\sqrt{2}\)が導けました!

同じようにして、

\(3^\frac{1}{2}=\sqrt{3}\) , \(2^\frac{1}{3}=\sqrt[3]{2}\)

などが得られます。

ちなみに、\(\sqrt[3]{2}\)は「2の3乗根3じょうこん」といい、3乗すると2になる数を表します。


同様に、\(\sqrt[n]{a}\)は「\(a\)の\(n\)乗根nじょうこん」といい、\(n\)乗すると\(a\)になる数を表します。

詳しくは下の記事をご参照ください。


\(n\)が整数のとき、

$$a^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{a}$$

となる。

また、\(p,q\)が整数のとき、

$$a^\frac{p}{q}=\sqrt[q]{a^p}$$

となる。(ただし、\(q\neq0\))


今回はここまで!

次の記事もみてね!

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