指数関数【指数法則編②】指数法則とn乗根の意味を理解しよう!

指数関数・対数関数

今回は指数法則の公式と、n乗根の計算について解説していきます!

こんな人に向けて書いてます!

  • 指数法則を忘れた人
  • n乗根の意味がわからない人
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1. 指数法則

\(2^2\times2^3=2^5=2^{2+3}\)のように、指数どうしの計算には法則があります。

その法則のことを「指数法則」といい、次の5つの法則(公式)あります。

指数法則

\(a\neq0\ ,\ b\neq0\)とし、\(m,n\)は整数とする。

  1.   \(a^ma^n=a^{m+n}\)
  2.   \(\displaystyle\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)
  3.   \((a^m)^n=a^{mn}\)
  4.   \((ab)^n=a^nb^n\)
  5.   \(\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\) (ただし、\(b\neq0\))

1.の公式を\(a^ma^n=a^{mn}\)としてしまう間違いが多いので気をつけましょう。

\(2^3\times2^4=2^{3\times4}=2^{12}\)

\(2^3\times2^4=2^{3+4}=2^{7}\)

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2. n乗根

n乗根

\(n\)乗すると\(a\)になる数のことを、\(a\)の\(n\)乗根という。

また、\(a\)の\(n\)乗根のうち正のものを\(\sqrt[n]{a}\)と表す。

また、前回の記事の内容を踏まえると、

$$\sqrt[n]{a}=a^\frac{1}{n}$$

となります。


この変形をつかうと、計算しやすくなることが多いです。

例:\(\displaystyle(\sqrt[4]{25})^2=(25^\frac{1}{4})^2=25^\frac{1}{2}=\sqrt{25}=5\)


ルート(平方根)のときを思い出しましょう。

\(\sqrt{4}=\sqrt{2^2}=2\)のように、ルートの中が2乗になると、ルートを外すことができました。

式にすると、\(\sqrt{a^2}=|a|\)となります。

絶対値がつくという点に注意しましょう。

\(\sqrt{(-3)^2}=-3\)

\(\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3\)


上の例では、\(\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3\)とすれば、正しいことが確認できます。


n乗根のときも同じようなことができます。

つまり、n乗根の中がn乗になっていれば、n乗根を外すことができます。

式にすれば、\(\sqrt[n]{a^n}=|a|\)となります。

例:\(\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2\)


ちなみに、\(\sqrt[n]{a}\)は\(\sqrt{a}\)のときと同じように計算できます。

例:\(\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{4\times2}=\sqrt[3]{8}=2\)

3. 指数法則(指数が有理数のとき)

この記事のいちばん最初に紹介した指数法則は、指数\(m,n\)が整数のときに成り立つものでしたが、

実際には、指数が有理数のときにも同じ法則が成り立ちます。

指数法則(指数が有理数のとき)

\(a>0\ ,\ b>0\)とし、\(p,q\)は有理数とする。

  1.   \(a^pa^q=a^{p+q}\)
  2.   \(\displaystyle\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}\)
  3.   \((a^p)^q=a^{pq}\)
  4.   \((ab)^p=a^pb^p\)
  5.   \(\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^p=\frac{a^p}{b^p}\) (ただし、\(b\neq0\))

このときは、\(a,b\)が正であることが必要という点に注意しましょう。

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