【対数関数】logの意味と頻出公式まとめ!底の変換公式と裏ワザも紹介!!

指数関数・対数関数

数学Ⅱを勉強していると、突如出てくる謎の記号「log

初めて登場する概念なので、なかなか理解できず、苦戦している人も多い分野です。


今回は、対数が苦手な方のために、logの意味と重要な公式についてまとめています!

こんな人に向けて書いてます!

  • 「対数(log)って何?」という人
  • 対数の計算の公式を忘れた人
  • 底の変換公式を知りたい人

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0. はじめに

これから対数関数を勉強するにあたって、指数関数が理解できていることが前提となります。

シグ魔くん
シグ魔くん

やばい、指数にがてなんだよな。。。

という人は、別の記事で指数について解説しています。

そちらの記事を読んでもらえると、より理解を深めることができます。

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1. 対数(log)って何なの?

対数の定義は次のようになっています。


対数

\(a>0,a\neq 1,M>0\)とするとき、

$$a^p=M \Longleftrightarrow \log_a{M}=p$$

と定め、\(\log_a{M}\)を「ていを\(a\)とする\(M\)の対数」という。


このとき、\(\log_a{M}\)の\(a\)を「てい」、\(M\)を「真数しんすう」という。

\(\Longleftrightarrow\)は「矢印の左と右は同じ意味」ということを表す記号だよ!

パイ子ちゃん

そんなの言われてもわかんないよ!!

という声が聞こえてきたので、具体的に説明していきます。


上の定義から、

$$2^1=2 \Longleftrightarrow \log_2{2}=1$$

が成り立ちますね?

\(a=2\) , \(M=2\) , \(p=1\) だね!



同じように、\(2^2=4 \ , \ 2^3=8\) をlogで表すと、下の図のようになります。


なんとなく、法則性が見えてきたのではないでしょうか?


上の図でも吹き出しで書きましたが、例えば\(\log_2{4}\)は、

底\(2\)は何乗すると真数\(4\)になりますか?

という意味です。


もちろん、\(2\)は\(2\)乗すると\(4\)ですね?


なので、\(\log_2{4}=2\)となるのです。



では、\(\log_2{16}\)はいくつでしょうか?


これは、

「底\(2\)は何乗すると真数\(16\)になりますか?」

という意味でしたね?


ということは、\(2\)は\(4\)乗すると\(16\)になるので、\(\log_2{16}=4\)となります!



このように、\(\log_a{M}\)を求めたいときは、

「\(a\)を何乗すれば\(M\)になるか」

を考えればいいということになります。



では、\(\log_2{1}\)はいくつになるでしょうか。


考え方は、「2を何乗すれば1になるか」を考えればいいということになります。


ということは\(2^0=1\)なので、\(\log_2{1}=0\)になります。


例:\(\displaystyle\log_2{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\ , \ \log_2{\frac{1}{2}}=-1\)


上の例を理解するためには、\(2^\frac{1}{2}=\sqrt{2}\ , \ 2^{-1}=\frac{1}{2}\)といった変形ができる必要があります。

自信がない人は、下の記事で確認してみましょう。



また、この章のいちばん最初に真数を定義しましたが、そこで “\(M>0\)” という条件があったと思います。

これを「真数条件」といいます。


例えば、\(\log_2{-1}\)のように、真数に0や負の数は入らないので覚えておきましょう。


2. 対数関数の公式

次に、対数の重要な公式をまとめておきます。


\(a>0,a\neq1,M>0,N>0\)のとき、

  1. \(\log_a{MN}=\log_a{M}+\log_a{N}\)
  2. \(\displaystyle\log_a{\frac{M}{N}}=\log_a{M}-\log_a{N}\)
  3. \(\log_a{M^k}=k\log_a{M}\) (\(k\)は実数)

この公式から、

  1. logの中の掛け算は、logとlogの足し算になる
  2. logの中の割り算は、logとlogの引き算になる
  3. logの中の指数は、logの係数になる

ということがわかります。


例:\(\log_{10}{6}=\log_{10}{(2\times 3)}\) \(=\log_{10}{2}+\log_{10}{3}\)
  \(\displaystyle\log_{10}{5}=\log_{10}{\frac{10}{2}}\) \(=\log_{10}{10}-\log_{10}{2}=1-\log_{10}{2}\)


底の変換公式

次の公式も、とても重要な公式になります。

logの底を変えたいときに役立つ公式です。


底の変換公式

\(a>0,b>0,c>0\)で、\(a\neq1,b\neq1,c\neq1\)のとき、

$$\log_a{b}=\frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}$$

が成り立つ。


例を見てみましょう!

例:\(\displaystyle\log_2{3}=\frac{\log_4{3}}{\log_4{2}}=2\log_4{3}=\log_4{9}\)

\(\displaystyle\log_4{2}=\frac{1}{2}\)だったね!

さっきの対数の公式の3. を使うと、\(2\log_4{3}=\log_4{3^2}\)になるんだね!


上の例では、logの底を\(2\)から\(4\)に変換しています。


さらに、logの底を\(2\)から\(8\)に変換すると、下のようになります。

例:\(\displaystyle\log_2{3}=\frac{\log_8{3}}{\log_8{2}}=3\log_8{3}=\log_4{27}\)


このように、底の変換公式を使えば、対数の底を好きな数に変えることができます!


底の変換公式の「裏ワザ」

勘のいい方はお気づきかもしれませんが、底の変換公式には裏ワザがあります。


先ほどの例で、

$$\log_2{3}=\log_4{9}=\log_8{27}$$

と変換しました。


底を\(2\)から\(4=2^2\)にすると、真数も\(3\)から\(9=3^2\)になっています。

さらに、底を\(2\)から\(8=2^3\)にすると、真数も\(3\)から\(27=3^3\)になっています。


つまり、

底を2乗すると、真数も2乗になり

底を3乗すると、真数も3乗になります


なので、\(\log_2{3}\)の底を\(\displaystyle 2^{-1}=\frac{1}{2}\)にすれば、真数も\(\displaystyle 3^{-1}=\frac{1}{3}\)になります。


これを知っていると、計算が楽になるので、覚えておくといいかもしれませんね!

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