指数・対数関数【グラフ編】

指数・対数関数【グラフ編】指数関数・対数関数

今回は指数関数と対数関数のグラフについてまとめます。

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1. 指数関数のグラフ

指数関数\(y=a^x\)のグラフは、\(a\)の値によって形が変わります。

例えば、\(a=2\)とすると、\(y=2^x\)の値は、

  • \(x=1\)のとき、\(y=2^1=2\)
  • \(x=2\)のとき、\(y=2^2=4\)
  • \(x=3\)のとき、\(y=2^3=8\)

のように、\(x\)が増えれば増えるほど、\(y\)の値も増えていきます。

ということは、右上がりのグラフになります。


一方、\(\displaystyle a=\frac{1}{2}\)とすると、\(\displaystyle y=\left(\frac{1}{2}\right)^x\)の値は、

  • \(x=1\)のとき、\(\displaystyle y=\left(\frac{1}{2}\right)^1=\frac{1}{2}\)
  • \(x=2\)のとき、\(\displaystyle y=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)
  • \(x=3\)のとき、\(\displaystyle y=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\)

のように、\(x\)が増えれば増えるほど、\(y\)の値は減っていきます。

ということは、右下がりのグラフになります。

このように、指数関数\(y=a^x\)のグラフは、\(0<a<1\)のときと、\(a>1\)のときで形が変わります。

ちなみに、\(a=1\)のときは直線\(y=1\)になります。

ポイント

指数関数\(y=a^x\)のグラフ

  1. 点\((0,1)\)を通る曲線(すなわち、\(y\)切片が\(1\))
  2. 常に\(x\)軸の上側にあり、\(x\)軸とは交わらない(すなわち、\(x\)軸は漸近線)
  3. \(a>1\)のときは右上がり、\(0<a<1\)のときは右下がりになる
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2. 対数関数のグラフ

次は、対数関数のグラフについて考えます。

指数と対数は密接な関係がありました。

そのため、対数関数のグラフも指数関数のときと同じように、\(a\)の値によって形が変わることが予想できます。


実際、その予想通りで、対数関数\(y=\log_a{x}\)のグラフも、\(0<a<1\)のときと、\(a>1\)のときで形が変わります。

ポイント

 

対数関数\(y=\log_a{x}\)のグラフ

  1. 点\((1,0)\)を通る曲線(すなわち、\(x\)切片が\(1\))
  2. 常に\(y\)軸の右側にあり、\(y\)軸とは交わらない(すなわち、\(y\)軸は漸近線)
  3. \(a>1\)のときは右上がり、\(0<a<1\)のときは右下がりになる


このように、対数関数のグラフと指数関数のグラフは特徴が似ているので、間違えないように覚えましょう。

3. 指数・対数関数と逆関数

指数関数のグラフと対数関数のグラフには、ある関係があります。

それは、直線\(y=x\)に対して対称になっているという関係です。

上の図をみてもらえればわかるように、指数関数のグラフと対数関数のグラフは、直線\(y=x\)を境目にして折り曲げるとぴったり重なります。

このような特徴が現れるのは、指数関数と対数関数が逆関数の関係になっているからです。


逆関数というのは、\(x\)と\(y\)を入れ替えてできる関数のことをいいます。


例えば、\(y=x^2\)の\(x\)と\(y\)を入れ替えると、\(y=\sqrt{x}\)となるので、

\(y=x^2\)と\(y=\sqrt{x}\)は逆関数の関係にあると言えます。

詳しくは数学Ⅲで習うので、細かい説明は省略します。

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