微分法【入門編】極限の基本、微分係数の定義と意味

微分法【入門編】微分法

今回から微分について勉強していきます。

こんな人に向けて書いてます!

  • 極限の意味がわからない人
  • 微分係数の定義を調べている人
  • 微分係数を求める意味を知りたい人
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1. 極限(lim)とは何か

まずは極限から勉強します。

極限

\(x\)を\(a\)に限りなく近づけたとき、関数\(f(x)\)の値が一定の値\(\alpha\)に限りなく近づくならば、

$$\lim_{x\to a}f(x)=\alpha$$

または、

$$f(x)\to\alpha \ (x\to a)$$

と表し、「\(x\to a\)のとき\(f(x)\)は\(\alpha\)に収束する」といい、\(\alpha\)を「\(x\to a\)のときの\(f(x)\)の極限値」という。

例えば、\(f(x)=x+1\)としましょう。

この\(f(x)\)の\(x\to 0\)のときの極限値について考えます。

問1:\(f(x)=x+1\)の\(x\to0\)の極限値を求めよ。

  • \(x=1\)のとき、\(f(1)=1+1=2\)
  • \(x=0.1\)のとき、\(f(0.1)=1+0.1=1.1\)
  • \(x=0.01\)のとき、\(f(0.01)=1+0.01=1.01\)
  • \(x=0.001\)のとき、\(f(0.001)=1+0.001=1.001\)
  • \(x=0.0001\)のとき、\(f(0.0001)=1+0.0001=1.0001\)

このように、\(x\)を\(0\)にどんどん近づけていくと、\(f(x)\)は\(1\)に近づいているのがわかりますね。

つまり、$$\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to 0}(x+1)=1$$となります。

パイ子ちゃん
パイ子ちゃん

それって、単純に\(f(0)=1\)で良くない?

と思う人も多いと思います。

たしかに、実際に代入すれば求められることは多いです。

例:\(\displaystyle\lim_{x\to1}(x^2+x+1)=1^2+1+1=3\)

ですが、数学Ⅲの範囲になると、ただ代入するだけでは求められないときもあるので、注意しましょう。

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2. 微分係数の定義

ここからいよいよ微分について学んでいきます。

微分係数

関数\(f(x)\)に対して、極限値

$$\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

を\(f(x)\)の\(x=a\)における微分係数といい、\(f'(a)\)で表す。

例題を解いてみましょう。

  例題1  

\(f(x)=x^3\)のとき、\(f'(2)\)を求めよ。

上の定義にしたがって求めていきます。

すると、

$$\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(2+h)^3-2^3}{h}$$

の値を求めればいいということになります。


しかし、ここですぐに\(h=0\)を代入してはいけません。

約分できるときは約分してから\(h=0\)としなければなりません。

\(\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{(2+h)^3-2^3}{h}=\frac{(2+0)^3-2^3}{0}=\frac{0}{0}\)


このように、約分する前に\(h=0\)を代入してしまうと分母が\(0\)になってしまいます。

そこで、必ず約分できるときは約分してから\(h=0\)を代入しましょう。

\(\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{(2+h)^3-2^3}{h}=\lim_{h\to0}\frac{12h+6h^2+h^3}{h}=\lim_{h\to0}(12+6h+h^2)=12\)

3. 微分係数の意味

ここまで、微分係数について考えてきましたが、

シグ魔くん
シグ魔くん

微分係数って何に使うの?

と疑問に思っている人も多いと思います。

ここからは、微分係数がどのような意味を持つのか考えて見ましょう。


そこで、2点\(A(a,f(a))\) , \(B(a+h,f(a+h))\)とします。

この2点A,Bを通る直線の傾きは、\(\displaystyle\frac{yの変化量}{xの変化量}\) より、

$$\frac{f(a+h)+f(a)}{(a+h)-a}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

となるので、

\(\displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)は2点\(A,B\)を通る直線の傾きを表しています。


つまり、この2点\(A,B\)を通る直線に対し、\(h\to 0\)としたものが微分係数となります。


では、\(h\to 0\)とするとどうなるでしょうか。

すると、点\(B(a+h,f(a+h))\)がどんどん点\(A(a,f(a))\)に近づきます。

つまり、直線\(AB\)は\(x=a\)における接線になります。

ということで、微分係数\(f'(a)\)は\(f(x)\)の\(x=a\)における接線の傾きを表していることがわかります。


この微分係数の意味はのちのち重要になるので覚えておきましょう。

微分法数学Ⅱ
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