微分法【導関数編】微分の方法と公式について

微分法【導関数編】微分法

今回は導関数の定義と公式について学んでいきます。

こんな人に向けて書いてます!

  • 「定義にしたがって微分せよ」という問題に苦しんでいる人
  • 微分の公式を調べている人
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1. 導関数とは

最初に導関数の定義についてまとめておきます。

導関数

関数\(f(x)\)に対して、

$$\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

を\(f(x)\)の導関数といい、\(f'(x)\)で表す。

また、\(f(x)\)の導関数\(f'(x)\)を求めることを、「\(f(x)\)を微分する」という。

パイ子ちゃん
パイ子ちゃん

あれ、この\(\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)ってどっかで、、、?

そうですね、導関数の式はどこかで見覚えがあると思います。

導関数の定義式は、前回勉強した微分係数の定義式とほぼ同じなのです。

微分係数:\(\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
導関数 :\(\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)


ということは、微分係数\(f'(a)\)を求めたければ、導関数\(f'(x)\)に\(x=a\)を代入すればいいということになります。

  例題1  

\(f(x)=x^2+2x+1\)を導関数の定義にしたがって微分せよ。

やり方は、前回の微分係数を求めるときと全く同じです。

\(\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)

\(\displaystyle\hspace{2em}=\lim_{h\to0}\frac{\{(x+h)^2+2(x+h)+1\}-\{x^2+2x+1\}}{h}\)

\(\displaystyle\hspace{2em}=\lim_{h\to0}\frac{\{(x^2+2xh+h^2)+2(x+h)+1\}-\{x^2+2x+1\}}{h}\)

\(\displaystyle\hspace{2em}=\lim_{h\to0}\frac{2xh+h^2+2h}{h}\)

\(\displaystyle\hspace{2em}=\lim_{h\to0}(2x+h+2)\)

\(\displaystyle\hspace{2em}=2x+2\)

これで、導関数\(f'(x)=2x+2\)が得られました。


では、\(f(x)\)の\(x=0\)における微分係数はどのようにして求めればいいでしょうか?

シグ魔くん
シグ魔くん

え、また\(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\)を計算するの??

でも、それは面倒ですよね。

そこで、導関数を使えば簡単に求められます。

\(f(x)\)の\(x=0\)における微分係数は\(f'(0)\)なので、導関数\(f'(x)\)に\(x=0\)を代入すればいいですね。


つまり、\(f'(x)=2x+2\)より、

$$f'(0)=2\times 0+2=2$$

となります。


同様に、

$$f'(1)=2\times1+2=2+2=4$$

$$f'(2)=2\times2+2=4+2=6$$

というように、導関数がわかれば、微分係数は代入するだけで求めることができます。

微分係数\(f'(a)\):\(f(x)\)の\(x=a\)における接線の傾き
導関数\(f'(x)\):微分係数(=接線の傾き)を求めるための関数

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2. 導関数の公式

微分係数や導関数について学んできましたが、計算が面倒ですよね。

実は、微分には公式があり、それを覚えれば微分が楽になります!

導関数の公式

 \((c)’=0\) (\(c\)は定数)

 \((x^n)’=nx^{n-1}\) (\(n\)は自然数)

\((x^n)’\)とは、\(x^n\)を微分するという意味です。

例:\((1)’=0\)
  \((x)’=1\times x^0=1\)
  \((x^2)’=2\times x^1=2x\)
  \((x^3)’=3\times x^2=3x^2\)

この公式を使えば、面倒な極限の計算をしなくて済むので楽ですよね!


また、微分には線形性と呼ばれる次の性質があります。

  \((f(x)\pm g(x))’=f'(x)\pm g'(x)\) (複合同順)

  \((kf(x))’=kf'(x)\) (\(k\)は定数)

上の公式から

  • 足し算や引き算なら、分けて微分できる
  • 係数がついているときは、係数を無視して微分できる

ということがわかります。

文字で書かれると頭が痛くなる人のために、例で確認して見ましょう。

例:\((2x^3+4x+1)’=2(x^3)’+4(x)’+(1)’=6x^2+4\)

このように、多項式も項ごとに微分することができます。

また、定数項は微分すると0になります。

微分法数学Ⅱ
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