微分法【接線・法線編】接線の方程式の求め方を解説!

微分法【接線・法線編】微分法

今回は接線と法線の方程式と、問題の解き方について解説します!

こんな人に向けて書いてます!

  • 接線の方程式を忘れちゃった人
  • 接線を求める問題が苦手な人
  • 法線ってなんだっけ?っていう人
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1. 接線の方程式

接線公式

\(y=f(x)\)の\(x=a\)における接線の方程式は、

$$y-a=f'(a)(x-a)$$

で与えられる。

接線公式の証明

接線の方程式が\(y-a=f'(a)(x-a)\)となる理由を考えます。


まず、接線は直線なので、一次関数\(y=mx+n\)の形で表されます。


\(m\)は接線の傾きですが、これが微分係数\(f'(a)\)で与えられることは以前説明しました。

もし、接線が原点を通るなら、接線の方程式\(l_0\)は

$$l_0\ : \ y=f'(a)x$$

で与えられることになります。

しかし、実際は必ずしも原点を通るとは限りません。

そこで、接線が\((a,f(a))\)を通るということを利用します。

\(l_0\)を\(x\)軸方向に\(a\)、\(y\)軸方向に\(f(a)\)だけ平行移動すれば、\(x=a\)における接線の方程式\(l\)が次のようになることがわかります。

つまり、$$l \ : \ y-f(a)=f'(a)(x-a)$$となります。

パイ子ちゃん
パイ子ちゃん

え、最後なんでそうなるの?

となっているかもしれないので、説明を補足します。


\(y=f(x)\)のグラフは、
\(x\)を\(x-a\)、\(y\)を\(y-b\)に置き換えることで
\(x\)軸方向に\(a\)、\(y\)軸方向に\(b\)だけ平行移動することができます。

例:\(y=\sin^2{x}\log{2x}\)を\(x\)軸方向に\(1\)、\(y\)軸方向に\(-3\)だけ平行移動すると、
$$y+3=\sin^2{(x-1)}\log{(2x-2)}$$

なので、\(l_0 \ : \ y=f'(a)x\)を\(x\)軸方向に\(a\)、\(y\)軸方向に\(f(a)\)だけ平行移動させると、

$$l \ : \ y-f(a)=f'(a)(x-a)$$

となります。

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2. 法線の方程式

シグ魔くん
シグ魔くん

そもそも、法線ってなんだっけ?

という人のために、念のため法線の定義を載せておきます。

法線

\(f(x)\)の\(x=a\)における接線\(l\)と垂直に交わる直線を、接線\(l\)に対する法線という。

接線と法線の関係

法線公式

\(y=f(x)\)の\(x=a\)における法線の方程式は、

\(f'(a)\neq0\)のとき、

$$y-f(a)=-\frac{1}{f'(a)}(x-a)$$

\(f'(a)=0\)のとき、

$$x=a$$

で与えられる。

法線公式の証明

法線の方程式も、考え方は接線のときとほぼ同じです。


まず、\(x=a\)における法線の傾きはどのように表せるでしょうか。

これは、二つの直線が直交するとき、傾きの積が\(-1\)になることを使います。

もちろん、接線と法線は直交するので、接線の傾きは\(f'(a)\)なので、法線の傾きを\(n\)とすれば、

$$f'(a)\times n=-1$$

すなわち、法線の傾き\(n\)は、

$$n=-\frac{1}{f'(a)}$$

となります。

あとは、接線のときと同様に、原点を通るときから平行移動させれば、法線の方程式

$$y-f(a)=-\frac{1}{f'(a)}(x-a)$$

が得られます。

パイ子ちゃん
パイ子ちゃん

\(f'(a)=0\)のときはなんで\(x=a\)なの?

という疑問も解決しておきましょう。

\(f'(a)=0\)のときは、傾き\(\displaystyle-\frac{1}{f'(a)}\)の分母が0になってしまいます

そのため、\(\displaystyle y-f(a)=-\frac{1}{f'(a)}(x-a)\)では表せません。


では、\(f'(a)=0\)とはどのような状態なのでしょうか。

\(f'(a)\)とは\(x=a\)での接線の傾きを表していました。


つまり、\(f'(a)=0\)とは\(x=0\)での接線が\(x\)軸に並行な状態ということです。

ということは、法線は\(y\)軸に並行になります。

\(x=a\)を通り、\(y\)軸に並行な直線の式は、$$x=a$$となるということです。

3. 接線を求める問題の解き方

接線を求める問題は2種類ある!

さて、接線の方程式が\(y-f(a)=f'(a)(x-a)\)となることを理解したところで、実際に問題を解いてみましょう。

接線を求める問題は、

  1. 接点が与えられているパターン
  2. 曲線の外の点が与えられているパターン

の2つがあります。

どちらのパターンかは問題を読めばわかります。

まず、1.の接点が与えられているパターンでは、

「点\((a,b)\)における接線の方程式を求めよ」

という問題文になっています。

例:曲線\(y=x^3+2\)上の点\((-1,1)\)における接線の方程式を求めよ。


それに対して、2.の曲線の外の点が与えられているパターンでは、

「点\((a,b)\)から引いた接線の方程式を求めよ」

という問題文になります。

例:曲線\(y=x^2+3\)に点\((1,0)\)から引いた接線の方程式を求めよ。

どちらのパターンかによって解き方が異なるので注意しましょう。

接点が与えられている場合

こっちのパターンのときは、もう一つの方に比べて楽に解けます。

というのも、接線の公式に代入するだけで解けるからです。

  例題1  

曲線\(y=x^3+2\)上の点\((-1,1)\)における接線の方程式を求めよ。

点\((a,f(a))\)における接線の方程式は、

$$y-f(a)=f'(a)(x-a)$$

となりますね。

今回の問題なら、\(a=-1\)で\(f(a)=1\)というのがすでにわかっているので、上の式に代入すれば、

$$y-1=f'(a)(x+1)$$

というところまでわかります。

あとは、微分係数は\(f'(a)\)ですが、これは導関数\(f'(x)\)を求めればいいのでしたね。

忘れた人は下の記事で確認しておきましょう。

\(y=x^3+2\)を微分すると、

$$y’=3x^2$$

となるので、これに\(x=-1\)を代入して

$$3\times(-1)^2=3$$

が\(x=-1\)での接線の傾き、すなわち\(f'(a)\)になります。

よって、求める方程式は、

$$y-1=3(x+1)$$

つまり、

$$y=3×4$$

となります。

曲線の外の点が与えられている場合

こちらの場合は非常に面倒です。

まず最初に今回考える例題を出します。

  例題2  

曲線\(y=x^2+3\)に点\((1,0)\)から引いた接線の方程式を求めよ。

シグ魔くん
シグ魔くん

さっきと同じように、接線の方程式に\(a=1,f(a)=0\)を代入すればいいんじゃないの?

という風に考えたかもしれません。

ですが、接線の方程式は、接点\((a,f(a)\)における接線を求める公式です。

なので、今回の問題のように、\(1,0\)が接点とならないときは、接線の方程式に代入することはできません。

実際、\(y=x^2+3\)に\(x=1,y=0\)を代入しても等式が成り立たないことがわかると思います。

パイ子ちゃん
パイ子ちゃん

え〜、じゃあどうすればいいの?

このパターンの問題では、接点がわからないのが厄介なので、とりあえず接点を\(t,f(t)\)とおきます。

そうすれば、接線の方程式から、

$$y-f(t)=f'(t)(x-t)$$

となります。

\(f'(x)=2x\)なので、\(f'(t)=2t\)となります。

また、\(f(x)=x^2+3\)なので、当然\(f(t)=t^2+3\)となります。


よって、とりあえずの接点\(t,f(t)\)における接線の方程式は、

$$y-(t^2+3)=2t(x-t)$$

と表されます。

そして、この接線は点\((1,0)\)を通っているはずなので、\(x=1,y=0\)を代入すると、

$$-(t^2+3)=2t(1-t)$$

となり、これを解くと、\(t=-1,3\)となります。

よって、\(y-(t^2+3)=2t(x-t)\)に、\(t=-1\)と\(t=3\)をそれぞれ代入すれば、答えが求められます。

したがって、

$$y=-2x+2$$

$$y=6x-6$$

の2つが答えです。

微分法数学Ⅱ
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