三角比【入門編】sin,cos,tanって何??(90°-θ)の公式も!

三角比【入門編】三角比

今回から三角比について勉強します。

こんな人に向けて書いてます!

  • 「sinやcosって何?」という人
  • 三角比の公式を調べている人
  • 三角比の\(90^\circ-\theta\)の公式をすぐ忘れちゃう人
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1. sin,cos,tanとは?

三角比の定義

これから三角比について勉強します。

三角比は次の3種類があります。

正弦(sin)、余弦(cos)、正接(tan)

それぞれ、「サイン」「コサイン」「タンジェント」と読みます。


では、sin、cos、tanは何のことを表しているのでしょうか。

下の図にまとめたので、確認してみましょう!

上の図にまとめたように、三角比は直角三角形の辺の比を表します。

2つの辺の選び方によってsinかcosかtanかが決まります。

慣れるまでは\(\theta\)を左下、直角を右下になるように回転して考えるようにしましょう。


ちなみに、\(\theta\) は「シータ」と読み、角の大きさを表すときに使います。

三角比とは、直角三角形の辺の比のことで、sin、cos、tanの3種類がある!

三角比には上の定義の他に、座標を用いた定義もあります。
そちらを調べたい人は次の記事を読んでください。

30°、45°、60°の三角比

30°、45°、60°の三角比は超頻出なので必ず覚えましょう!


これらの三角比は中学校で習った直角三角形の比の関係を使えば示せます。

\(1:2:\sqrt{3}\)とか、\(1:1:\sqrt{2}\)とか覚えましたよね?


それを、最初にかいた定義に当てはめると、下のようになることがわかると思います。

さきほども言いましたが、上の9個の三角比は覚えておきましょう!

三角比の定義域(\(0^\circ<\theta<90^\circ\)のとき)

三角比(\(\sin{\theta},\cos{\theta},\tan{\theta}\))とは直角三角形の辺の比であることを紹介しました。

\(\theta\)は直角三角形の角の1つですが、この\(\theta\)は90°より小さいはずです。

(\(\theta>90^\circ\)とすると、直角三角形の内角が180°を超えるから)


つまり、ここで考えている\(\theta\)の定義域は、

$$0^\circ<\theta<90^\circ$$

ということになります。


このときの\(\sin{\theta}\)や\(\cos{\theta}\)の定義域(とることができる値)は次のようになります。

三角比の定義域(\(0^\circ<\theta<90^\circ\)のとき)

\(0^\circ<\theta<90^\circ\)とする。

このとき、

$$0<\sin{\theta}<1$$

$$0<\cos{\theta}<1$$

$$0<\tan{\theta}$$

となる。

三角比は直角三角形の辺の比であることを考えれば、0より大きくなることは納得できると思います。


sinとcosが1より小さいのは、直角三角形は斜辺がいちばん長いことから示せます。


また、tanは\(\theta\)の角を\(90^\circ\)に近づけていけば無限に大きくなります。

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2. 三角比の相互関係

sin、cos、tanには次の3つの関係があります。

三角比の相互関係
  1.  \(\displaystyle\tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\)
  2.  \(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1\)
  3.  \(\displaystyle 1+\tan^2{\theta}=\frac{1}{\cos^2{\theta}}\)
インテ・グラ先生
インテ・グラ先生

三角比は2乗するとき、\((\sin{\theta})^2\)のことを\(\sin^2{\theta}\)で表します。

cosやtanについても同様です。

この相互関係の式を使うと、sin,cos,tanのうち1つがわかれば、残りの2つも計算で求めることができます。

  例題1  

\(\displaystyle\sin{\theta}=\frac{3}{5}\)のとき、\(\cos{\theta}\)と\(\tan{\theta}\)の値を求めよ。

ただし、\(0<\theta<90^{\circ}\)とする。

まずcosから求めます。


sinからcosを求めたいときは、相互関係の式の 2. を使います。

すると、

$$\left(\frac{3}{5}\right)^2+\cos^2{\theta}=1$$

となるので、これを解くと、

  \(\displaystyle\cos^2{\theta}=1-\frac{9}{25}\)
  \(\displaystyle\cos^2{\theta}=\frac{16}{25}\)
  \(\displaystyle\cos2{\theta}=\pm\frac{4}{5}\)

となります。


(0<\theta<90^{\circ})のときは\(\cos{\theta}>0\)であることは、この記事の1章で説明しました。

よって、$$\cos{\theta}=\frac{4}{5}$$であることがわかりました。


次に\(\tan{\theta}\)を求めます。

これは相互関係の式の 1. を使えば求められます。

$$\tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\frac{3}{5}\times\frac{5}{4}=\frac{3}{4}$$

となります。


今回の例題では、相互関係の式の 3. を使いませんでした。

3. の関係式はtanがわかっていてcosを求めたいときに使います。

例:\(\tan{\theta}=\sqrt{5}\)のとき、$$1+(\sqrt{5})^2=\frac{1}{\cos^2{\theta}}$$より、\(\displaystyle\cos{\theta}=\frac{1}{\sqrt{6}}\).

相互関係の式を使うと、他の三角比を求めることができる!

3. 三角比の\((90^\circ-\theta)\)の公式

\(90^\circ-\theta\)の公式

  \(\sin(90^\circ-\theta)=\cos{\theta}\)

  \(\cos(90^\circ-\theta)=\sin{\theta}\)

  \(\displaystyle\tan(90^\circ-\theta)=\frac{1}{\tan{\theta}}\)

この公式は下の図をイメージすると納得できると思います。

\(90^\circ-\theta\)の三角比を求めるということは、上の図のように回転させると考えることができます!

三角比数学Ⅰ
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