三角比【初級編】単位円とは?120°,135°,150°の三角比

三角比【初級編】三角比

今回は三角比の別の定義について紹介します。

こんな人に向けて書いてます!

  • 90°以上の三角比が苦手な人
  • 単位円を使った三角比の定義がわからない人
  • 三角比の表を調べている人
スポンサーリンク

1. \(0^\circ\leq\theta\leq180^\circ\)の三角比

三角比の定義(\(0^\circ\leq\theta\leq180^\circ\)のとき)

前回の記事で、三角比とは直角三角形の比であることを説明しました。

そのため\(\sin{\theta}\)や\(\cos{\theta}\)は\(0^\circ<\theta<90^\circ\)の範囲でしか考えることができませんでした。

そこで、今回は三角比を拡張して、\(0^\circ\leq\theta\leq180^\circ\)の範囲で扱えるようにします。

このように三角比を定義すれば、\(\theta\)が90°以上になっても定義できます。


さらに、半径\(r=1\)とすると、

$$\sin{\theta}=\frac{y}{1}=y \ , \ \cos{\theta}=\frac{x}{1}=x$$

となります。


これは、

点\(P\)の\(y\)座標が\(\cos{\theta}\)
点\(P\)の\(x\)座標が\(\sin{\theta}\)

になることを表しています。


つまり、\(P\)の座標は\(\cos{\theta},\sin{\theta}\)になります。


では、今回の定義で 30° , 45° , 60° の三角比を求めてみましょう!


今回も、\(1:2:\sqrt{3}\)や\(1:1:\sqrt{2}\)の関係を使っています。

\(OP\)は円の半径なので常に\(1\)となることに注意しましょう。


そしたら、\(P\)の\(y\)座標がsinに、\(x\)座標がcosになります。

前回と定義の仕方は異なりますが、値は一致していることがわかると思います。


前回の記事についてはこちら

sinは単位円の\(y\)座標、cosは単位円の\(x\)座標に対応している!
※単位円=半径が1の円

三角比の相互関係

また、\(0^\circ\leq\theta\leq180^\circ\)のときも相互関係の式が成り立ちます。

三角比の相互関係
  1.  \(\displaystyle\tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\)
  2.  \(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1\)
  3.  \(\displaystyle 1+\tan^2{\theta}=\frac{1}{\cos^2{\theta}}\)

三角比の定義域

\(\theta\)の範囲を180°までに拡張したことで、sinやcosがとれる値も増えます。

三角比の定義域(\(0^\circ\leq\theta\leq 180^\circ\)のとき)

\(0^\circ\leq\theta\leq180^\circ\)とする。

このとき、

$$0\leq\sin{\theta}\leq1$$

$$-1\leq\cos{\theta}\leq1$$

\(\tan{\theta}はすべての実数\)

を動く。

これはsinが\(y\)座標、cosが\(x\)座標と対応していることを考えれば納得できると思います。

スポンサーリンク

2. \((180^\circ-\theta)\)の三角比

\((180^\circ-\theta)\)の三角比の公式

三角比は次の公式が成り立ちます。

\(180^\circ-\theta\)の三角比

  \(\sin(180^\circ-\theta)=\sin{\theta}\)

  \(\cos(180^\circ-\theta)=-\cos{\theta}\)

  \(\tan(180^\circ-\theta)=-\tan{\theta}\)

これは\(180^\circ-\theta\)を下の図のように、時計回りに\(\theta\)と考えると導けます。


このように、\(\theta\)と\(180^\circ-\theta\)は対称的になっているので、

sinは同じで、cosはプラスマイナスが逆になります。


tanについては、相互関係の 1. の式から、

$$\tan(180^\circ-\theta)=\frac{\sin(180^\circ-\theta)}{\cos(180^\circ-\theta)}=\frac{\sin{\theta}}{-\cos{\theta}}=-\tan{\theta}$$

となることがわかります。

120°,135°,150°の三角比

上の公式を使って、120°,135°,150°の三角比を求めてみましょう。


それぞれ

  • $$120^\circ=180^\circ-60^\circ$$
  • $$135^\circ=180^\circ-45^\circ$$
  • $$150^\circ=180^\circ-30^\circ$$

として計算します。

\(30^\circ,45^\circ,60^\circ\)の三角比を忘れた人は前回の記事で復習しましょう!


さらに、\(0^\circ,180^\circ\)の三角比も求めると、下の表のようになります。

この表はとても重要なので、必ず覚えましょう!

\(\tan{90^\circ}\)は存在しません。
なぜなら、\(\displaystyle\tan{90^\circ}=\frac{\sin{90^\circ}}{\cos{90^\circ}}=\frac{1}{0}\)であり、分母が\(0\)になるからです。

三角比数学Ⅰ
スポンサーリンク
OchibaAtsuoをフォローする
ますますmathが好きになる!魔法の数学ノート

コメント

タイトルとURLをコピーしました