積分法【不定積分編】不定積分の基本を身につけよう!

積分法【不定積分編】数学Ⅱ

今回から積分について学んでいきましょう!

こんな人に向けて書いてます!

  • 不定積分のやり方がわからない人
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1. 不定積分

今回から積分について解説します。



積分とは、簡単にいうと微分の逆の計算のことで、

  • 不定積分
  • 定積分

の2種類があります。


今回は不定積分について勉強しましょう!

不定積分

関数\(F(x)\)を微分すると\(f(x)\)になるとき、

\(F(x)\)を\(f(x)\)の不定積分(または原始関数)といい、

$$F(x)=\int{f(x)}dx+C$$

と書く。

ただし、\(C\)は定数であり、積分定数という。

インテ・グラ先生
インテ・グラ先生

記号\(\int\)のことを「インテグラル」というよ!

例:\((x^2)’=2x\)なので、\(\int{2x}dx=x^2+C\) (\(Cは積分定数\))


なぜ、積分定数\(C\)を後ろにつける必要があるかというと、

  • \((x^2)’=2x\)
  • \((x^2+1)’=2x\)
  • \((x^2+2)’=2x\)
  • \((x^2+100)’=2x\)

のように、\(x^2\)のうしろに定数がついていても、微分すると\(2x\)になります。


このように、微分すると\(2x\)になる関数は、定数項を変えることによって無限個つくれます。


そこで、これらの定数をまとめて\(C\)で表そうというのが、積分定数の意味です。

最初のうちは書き忘れることが多いので、気をつけましょう。

 

$$\{F(x)\}’=f(x) \Longleftrightarrow F(x)=\int{f(x)}dx+C$$

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2. 積分の公式

不定積分の公式

$$\int{x^n}dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$$

ただし、\(C\)は積分定数とする。

上の公式が成り立つことは簡単に確認できます。

右辺を微分したとき、左辺の\(\int(\hspace{0.5em}) dx\)の中身に一致することを確かめましょう。

$$\left(\frac{1}{n+1}x^{n+1}\right)’=\frac{1}{n+1}\times(n+1)x^n=x^n$$

これで、公式は証明されました。

例:\(\displaystyle\int{x}dx=\frac{1}{2}x^2+C\)
  \(\displaystyle\int{x^2}dx=\frac{1}{3}x^3+C\)

ちなみに、\(\int{1}dx\)は\(1=x^0\)と考えると、

$$\int{1}dx=\int{x^0}dx=\frac{1}{0+1}x^1+C=x+C$$

となります。

\(\int{1}dx\)は\(1\)を省略して、\(\int dx\)と書くこともあります。


また、微分には線形性と呼ばれる次の性質があります。

  \(\displaystyle\int\{f(x)\pm g(x)\}dx=\int{f(x)}dx\pm \int{g(x)}dx\) (複合同順)

  \(\displaystyle\int\{kf(x)\}dx=k\int{f(x)}dx\) (\(k\)は定数)

上の公式から、

  • 足し算や引き算は、分けて積分することができる
  • 係数は無視して、そのまま積分できる

ということがわかります。

例:\(\displaystyle\int(2x^2-4x+3)dx\)
  \(\displaystyle=2\int{x^2}dx-4\int{x}dx+3\int dx\)
  \(\displaystyle=\frac{2}{3}x^3-2x^2+3x+C\)

上の例のように、3つの不定積分になっても積分定数は\(C\)だけで十分です。
\(3C\)や\(C+C’+C^{\prime\prime}\)のようにする必要はありません。

3. 積分の例題

  例題1  

\(f'(x)=2(x+1)^2\)かつ\(f(0)=1\)をみたす関数\(f(x)\)を求めよ。


例題1の解説

微分と積分が逆の計算であることを利用します。

つまり、

\(f(x)\)を微分すると\(f'(x)\)になるので、
逆に\(f'(x)\)を積分すると\(f(x)\)になります。(正確には\(f(x)+C\))

ということで、まずは\(f'(x)=2(x+1)^2\)を積分しましょう。

積分するときは、まず展開して多項式の形に直しましょう。(数Ⅲでは例外あり)

  \(f(x)=\int{f'(x)}dx=2\int(x+1)^2dx\)
  \(\hspace{2em}=2\int(x^2+2x+1)dx\)
  \(\displaystyle\hspace{2em}=2\left(\frac{1}{3}x^3+x^2+x\right)+C\)
  \(\displaystyle\hspace{2em}=\frac{2}{3}x^3+2x^2+2x+C\)

となります。

ここでも、積分定数\(C\)は\(2C\)などにする必要はありません。


定数項がまだ\(C\)のままなので、ここで条件\(f(0)=1\)を使うと、上の式から、

$$f(0)=C=1$$

となります。


よって、答えは

$$f(x)=\frac{2}{3}x^3+2x^2+2x+1$$

となります。

数学Ⅱ積分法
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