微分法(数Ⅲ)【公式まとめ】これだけ押さえておけば微分はバッチリ!

微分法(数Ⅲ)【公式まとめ】微分法(数Ⅲ)

数Ⅱまで微分が得意だったのに

パイ子ちゃん
パイ子ちゃん

数Ⅲに入ってから微分が難しすぎるよ!!

という悩みを抱えている人がたくさんいます。


今回はそんなあなたのために微分の公式と、その公式をつかうポイントをまとめておきました!

これさえ押さえておけば微分もできるようになるので頑張りましょう!

こんな人に向けて書いてます!

  • 数Ⅲに入ってから微分がわからなくなった人
  • 公式が多くて何をすればいいかわからない人
  • 合成関数の微分って何?っていう人



「これさえ押さえておけば大丈夫!」と書きましたが、本当はもう少し覚えておくべきことがあります。

それは「対数微分法」についてです。

対数微分法について調べているという人は下の記事を読んでくださいね。

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1. \(x^\alpha\)の微分

\(x^\alpha\)の微分見出し

\(y=x^\alpha\)(\(\alpha\)は実数)のとき、

$$(x^\alpha)’=\alpha x^{\alpha-1}$$


この公式は数Ⅱでもおなじみですね。

数Ⅱと違うところがあるとすれば、数Ⅱでは指数\(\alpha\)が自然数のときしか扱いませんでした。

例:\((x^2)’=2x^{2-1}=2x\)
  \((x^3)’=3x^{3-1}=3x^2\)


ですが、数Ⅲでは指数\(\alpha\)が分数や負の数のときにもこの公式を使います。

例:\(\displaystyle (x^\frac{3}{2})’=\frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}=\frac{3}{2}x^\frac{1}{2}\)
  \((x^{-2})’=-2x^{-2-1}=-2x^{-3}\)


この公式を使えば、次のような関数も微分できます。

例題1

次の関数を微分せよ。

(1) \(\displaystyle \frac{1}{x}\)  (2) \(\displaystyle \sqrt{x}\)


 例題1の解説 

ポイントは\(\displaystyle \frac{1}{x}\)を\(x^\alpha\)の形にするということです。


まず(1)から考えましょう。


指数法則より、\(\displaystyle \frac{1}{x}=x^{-1}\)となるので、

\(\alpha=-1\)として公式を使えば良さそうです。

シグ魔くん
シグ魔くん

なんで\(\displaystyle \frac{1}{x}=x^{-1}\)になるんだっけ?

という人は下の記事で説明しているので読んでみてください!


ということで、
  \(\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)’=(x^{-1})’\)
  \(\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)’=-1\times (x^{-1-1})\)
  \(\displaystyle \hspace{2.5em}=-1\times x^{-2}\)
  \(\displaystyle \hspace{2.5em}=-\frac{1}{x^2}\)

となります。

これで(1)が解けました!



(2)も考え方は(1)と同じです。

\(\sqrt{x}\)を\(x^\frac{1}{2}\)をすれば、公式より、

  \(\displaystyle (\sqrt{x})’=x^\frac{1}{2}\)
  \(\displaystyle \hspace{2em}=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}\)
  \(\displaystyle \hspace{2em}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\)
  \(\displaystyle \hspace{2em}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

となります。

(例題1終わり)


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2. 三角関数・指数関数・対数関数の微分

三角関数の微分

\((\sin{x})’=\cos{x}\)

\((\cos{x})’=-\sin{x}\)

\(\displaystyle(\tan{x})’=\frac{1}{\cos^2{x}}\)

cosは微分するとマイナスがつくので注意しよう!

指数関数の微分

\((e^x)’=e^x\)

\((a^x)’=e^x\log{a}\)

\(e^x\)は微分しても形が変わらないから覚えやすいね!!

\(a^x\)は対数微分法によって示せるので、覚えていなくてもなんとかなります。

\(y=a^x\)とおくと、\(\log{y}=x\log{a}\)

両辺を\(x\)で微分すると、

$$\frac{y^\prime}{y}=\log{a}$$

よって、

$$y^\prime=y\log{a}$$

となる。\(y=a^x\)だったので、

$$(a^x)^\prime=a^x\log{a}$$

3行目がわからない人へ


\(\log{a}\)は定数なので、\(\log{a}=A\)とかとすれば、

\(x\log{a}=Ax\)なので、微分すると、\(A=\log{a}\)となるよね!


(対数微分法については下の記事で解説しています)


対数関数の微分

\(\displaystyle(\log{x})’=\frac{1}{x}\)

\(\displaystyle(\log_a{x})’=\frac{1}{x\log{a}}\)


底の変換公式から、\(\displaystyle\log_a{x}=\frac{\log{x}}{\log{a}}\)となることを使えば、下の公式は導けます。

\(\displaystyle(\log_a{x})’=\left(\frac{\log{x}}{\log{a}}\right)’\)

\(\displaystyle\hspace{2em}=\frac{1}{\log{a}}(\log{x})’\)

\(\displaystyle\hspace{2em}=\frac{1}{\log{a}}\frac{1}{x}\)

\(\displaystyle\hspace{2em}=\frac{\log{a}}{x}\)


\(\frac{1}{\log{a}}\)は定数だから、微分の外に出せるね!

3. 積の微分

積の微分

$${f(x)g(x)}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$


\(\{f(x)g(x)\}’=f'(x)g'(x)\)としてしまう間違いが多いので気をつけましょう。

\(\displaystyle(x\log{x})’=1\times\frac{1}{x}=\frac{1}{x}\)

\(\displaystyle(x\log{x})’=1\times\log{x}+x\times\frac{1}{x}\)\(=\log{x}+1\)


このように、(\(x\)の式)×(\(x\)の式\)で表される関数を微分するときは、積の微分を使います。

例:\((x\sin{x})’=1\times\sin{x}+x\cos{x}\)\(=\sin{x}+x\cos{x}\)
  \((e^x\cos{x})’=e^x\cos{x}+e^x(-\sin{x})\)\(=e^x(\cos{x}-\sin{x})\)

4. 商の微分

商の微分

$$\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}$$

積の微分と似ていますが、分子の第2項がマイナスになっているところに気をつけましょう!

5. 合成関数の微分

合成関数の微分

$${f(g(x))}’=f'(g(x))g'(x)$$


公式をみてもよくわからないと思うので、例をみてみましょう!

例:\(((x^2+1)^4)’=4(x^2+1)^3\times 2x\)\(=8x(x^2+1)^3\)


この例は、まず\((x^\alpha)’=\alpha(x^{\alpha-1}\)の公式を使うと、

\((x^2+1)^4\)の指数4が係数となり、指数を1減らして3乗にします。


ですが、ここで終わりではありません。

\((\hspace{1em})^4\)の「中身」である\(x^2+1\)も微分して掛け算します。

これが合成関数の微分のやり方です。

この方法を使えば、わざわざ\((x^2+1)^4\)を展開する必要がないので計算が楽になります。


もう一つ例をあげましょう。

例:\((\sin^2{3x})’=2{\sin{3x}}\times\cos{3x}\times3\)\(=6\sin{3x}\cos{3x}\)

この例では、合成関数の微分を2回用いています。

\(\sin^2{3x}\)を\((\sin{3x})^2\)と見るとわかりやすいかもしれません。

このように、中身に入っている関数も微分してあげることを忘れないようにしましょう!



おすすめ参考書

ふたたびの微分・積分

とてもわかりやすい上に、スラスラ読むことができるのでおすすめです!

微分法(数Ⅲ)数学Ⅲ
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