微分法(数Ⅲ)【対数微分法】x^x(xのx乗)の微分のやり方

微分法(数Ⅲ)【対数微分法】微分法(数Ⅲ)

今回は対数微分法について勉強します!

こんな人に向けて書いてます!

  • 対数微分法のやり方を忘れた人
  • \(x^x\)の微分がわからない人
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1. 対数微分法とは

対数微分法

●いつ使うの?

  \(x^x\)や\(x^{\sin{x}}\)のように、「(\(x\)の式)の(\(x\)の式)乗」の形になっているとき

●どう使うの?

  両辺の自然対数をとってから微分する

●ポイントは?

  \(\displaystyle(\log{y})’=\frac{y’}{y}\)となる!(合成関数の微分)

この説明だけみてもイメージかつかないと思うので、いくつか例題を解いてみましょう!

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2. 対数微分法の例

\(x^x\)の微分

  例題1  

\(y=x^x\)を微分せよ。

例題1の解説

この問題のよくある間違いは、

\((x^a)’=ax^{a-1}\)なんだから、

\((x^x)’=x\cdot x^{x-1}=x^x\)じゃないの?

という間違いです。


どこがまずいかわかりますか?


これは、公式\((x^a)’=ax^{a-1}\)は指数の\(a\)が定数でなければならないので、

\(x^x\)のように指数に\(x\)変数を含んでいるときは使えないのです。

え〜、じゃあどうすればいいんだろう。。。

となっていると思いますが、ここで登場するのが「対数微分法」なのです。


ということで、対数微分法のやり方を説明していきます。


step.1 まず、両辺の自然対数をとる

(\(x^x>0\)より)\(y=x^x\)の両辺の自然対数を取ると、

$$\log{y}=\log{x^x}$$

となります。


\(y\)が問題文にないときは、自分で\(y=x^x\)とおきましょう。


さて、対数には、

$$\log_{a}{M^k}=k\log_{a}{M}$$

という公式がありました。


これを、\(\log{y}=\log{x^x}\)に使うと、

$$\log{y}=x\log{x}$$

となります。

両辺の自然対数を取るとき、もし両辺が負なら真数に絶対値をつける必要があります。
(真数条件より)


step.2 両辺を\(x\)で微分する

次に両辺を\(x\)で微分するのですが、ここで一つ重要なポイントがあります。

それは、\(\log{y}\)を\(x\)で微分すると、\(\displaystyle\frac{y’}{y}\)になるということです。


なぜそうなるのかは、合成関数の微分から示せるのですが、これは理屈で覚えるより暗記しておいた方がいいかもしれません。

  \(\displaystyle\frac{d}{dx}\log{y}\)

  \(\displaystyle=\frac{dy}{dx}\frac{d}{dy}\log{y}\)

  \(\displaystyle=y’\frac{1}{y}\)

  \(\displaystyle=\frac{y’}{y}\)

ということで、\(\log{y}=x\log{x}\)の両辺を\(x\)で微分すると、

$$\frac{y’}{y}=\log{x}+1$$

となります。


ここでは積の微分の公式を使っています。

あれ、積の微分ってなんだっけ、、、?

という人は下の記事で確認しておきましょう!

一応、積の微分の公式を載せておきます。

積の微分

$$\{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$


step.3 \(y’\)を求める

最後は、左辺の分母\(y\)を払います。

$$y’=(\log{x}+1) \times y$$


さて、そもそも\(y=x^x\)なので、

$$y’=(\log{x}+1) \times x^x=x^x(\log{x}+1)$$

となります。


これで、\(x^x\)の微分が求められました!

対数微分法 3step
 1. まず、両辺の自然対数をとる
 2. 両辺を\(x\)で微分する
 3. \(y’\)を求める

\(\log{y}\)や\(\log{|y|}\)を\(x\)で微分すると、\(\displaystyle\frac{y’}{y}\)になる!

\(x^{\sin{x}}\)の微分

復習のつもりで、似たような問題をもう一つ解いてみましょう!

  例題2  

\(x^{\sin{x}}\)を微分せよ。

例題2の解説

これも「(\(x\)の式)の(\(x\)の式)乗」になっているので、対数微分法を使いましょう。


step.1 まず、両辺の自然対数をとる

\(y=x^{\sin{x}}\)とおきます。


(\(x^{\sin{x}}>0\)より)両辺の自然対数を取ると、

$$\log{y}=\log{x^{\sin{x}}}$$


つまり、

$$\log{y}=\sin{x}\log{x}$$

となります。


step.2 両辺を\(x\)で微分する

\(\log{y}=\sin{x}\log{x}\)の両辺を\(x\)で微分すると、積の微分より、

$$\frac{y’}{y}=\cos{x}\log{x}+\frac{\sin{x}}{x}$$

となります。


step.3 \(y’\)を求める

最後に、両辺に\(y=x^{\sin{x}}\)をかければ、

$$y’=x^{\sin{x}}(\cos{x}\log{x}+\frac{\sin{x}}{x})$$

となります。

3. 対数微分法を使うと計算が楽になる例

ここまで、対数微分方は「(\(x\)の式)の(\(x\)の式)乗」の形の関数に使うと説明しました。


しかし、この形以外のときにも、対数微分を使うとけんさんが楽になることがあります。


それは、次のような、複数の指数や根号の積になっている場合です。

  例題3  

\(y=(x+1)^4\sqrt{2x-1}\)を微分せよ。

例題3の解説

いままでと同様のstepで微分できます。


step.1 まず、両辺の自然対数をとる

(\((x+1)^4\sqrt{2x-1}>0\)より)両辺の自然対数を取ると、

$$\log{y}=4\log(x+1)+\frac{1}{2}\log(2x-1)$$


step.2 両辺を\(x\)で微分する

両辺を\(x\)で微分すると、

$$\frac{y’}{y}=\frac{4}{x+1}+\frac{1}{2}\frac{2}{2x-1}$$


step.3 \(y’\)を求める

両辺に\(y=(x+1)^4\sqrt{2x-1}\)をかけると、

$$y’=\left(\frac{4}{x+1}+\frac{1}{2x-1}\right)\times(x+1)^4\sqrt{2x-1}$$

すなわち、

$$y’=4(x+1)^3\sqrt{2x-1}+\frac{(x+1)^4}{\sqrt{2x-1}}$$

となります。

微分法(数Ⅲ)数学Ⅲ
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