積分法【定積分編】定積分でグラフの面積を求める!

積分法【定積分編】数学Ⅱ

今回は定積分について勉強します。

定積分を勉強するにあたって、不定積分を理解しておく必要があります。

不定積分って何?

という人は、下の記事から読んでくださいね!

こんな人に向けて書いてます!

  • 定積分が苦手な人
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1. 定積分

定積分

\(\displaystyle\int{f(x)}dx=F(x)+C\)(\(C\)は積分定数)のとき、

$$\int_a^b{f(x)}dx=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a)$$

このとき、\(a\)を下端、\(b\)を上端という。

このような計算のことを「定積分」というよ!

例:\(\displaystyle\int_0^1{x}dx=\left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^1=\frac{1}{2}\times 1^2-\frac{1}{2}\times 0^2=\frac{1}{2}\)

上の例をもう少し丁寧に解説します。


まず、\(\displaystyle\int{x}dx=\frac{1}{2}x^2+C\)となることは、前回の不定積分編で解説しました。


今回は、定積分\(\displaystyle\int_0^1{x}dx\)なので、不定積分した\(\displaystyle\frac{1}{2}x^2\)を大括弧[ ] で囲んで、右上に1右下に0を添えます。

定積分のときは、[ ] の中に積分定数\(C\)を書く必要ありません。


そしたら、[ ]の中の関数に、右上の1を代入した数から右下の0を代入した数をひきます。

\(\displaystyle\frac{1}{2}x^2\)に1を代入すると、\(\displaystyle\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle\frac{1}{2}x^2\)に0を代入すると、\(0\)

になります。


これらを引くと、\(\displaystyle\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}\)となります。

これで、定積分\(\displaystyle\int_0^1{x}dx\)が求まりました。

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2. 定積分の性質

定積分にはいくつかの性質があります。

まずは、不定積分のときにもあった線形性から確認します。

\(\displaystyle\int_a^b\{f(x)\pm g(x)\}dx=\int_a^b{f(x)}dx\pm \int_a^b{g(x)}dx\) (複合同順)

\(\displaystyle\int_a^b{kf(x)}dx=k\int_a^b{f(x)}dx\) (\(k\)は定数)

例:\(\displaystyle\int_1^2{3x^2+2x+1}dx=3\int_1^2{x^2}dx+2\int_1^2{x}dx+\int_1^2{}dx\)


また、定積分の上端と下端は入れ替えると次のようになります。

$$\int_a^b{f(x)}dx=-\int_b^a{f(x)}dx$$

例:\(\displaystyle\int_3^4{x}dx=-\int_4^3{x}dx\)


さらに、上端と下端が等しいときは、定積分は0になります。

$$\int_a^a{f(x)}dx=0$$


また、積分区間は次のように分割することができます。

$$\int_a^b{f(x)}dx=\int_a^c{f(x)}dx+\int_c^b{f(x)}dx$$

例:\(\displaystyle\int_1^3{x}dx=\int_1^2{x}dx+\int_2^3{x}dx\)

3. 定積分と面積の関係

定積分はグラフの面積を求めるときに使います。


まずは、\(y=f(x)\)のグラフが区間\(a\leq x\leq b\)で\(x\)軸より上にあるときについて考えます。


このとき、曲線\(y=f(x)\)と\(x\)軸、および直線\(y=a\)、\(y=b\)で囲まれる部分の面積を\(S\)とすると、

$$S=\int_a^b{f(x)}dx$$

となります。


逆に、\(y=f(x)\)のグラフが区間\(a\leq x\leq b\)で\(x\)軸より下にあるときは、

$$S=-\int_a^b{f(x)}dx$$

となります。


まとめると、定積分\(\displaystyle\int_a^b{f(x)}dx\)は、

曲線\(y=f(x)\) , \(x\)軸 , 直線\(y=a\) , 直線\(y=b\) で囲まれた部分の面積が求められますが、

  • \(y=f(x)\)のグラフが\(x\)軸より上にあるときはプラス
  • \(y=f(x)\)のグラフが\(x\)軸より下にあるときはマイナス

の符号がつきます。


じゃあ、区間\(a\leq x\leq b\)で\(f(x)\geq 0\)と\(f(x)\leq 0\)の部分の両方があるときはどうするの??

そのときは、\(f(x)\geq 0\)と\(f(x)\leq 0\)の区間に分けます。

このように、グラフの面積は、

  • \(x\)軸の上にある区間ではそのまま定積分して、
  • \(x\)軸の下にある区間では定積分にマイナスをつけます。

数学Ⅱ積分法
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