2次関数 | 苦手だった平方完成がスラスラできる!

2次関数【平方完成編】数学Ⅰ

平方完成は慣れるまでなかなか難しいと感じる人が多いです。

今回は、そんな人のために平方完成の方法をわかりやすく解説しました!

こんな人に向けて書いてます!

  • 平方完成が苦手な人
  • 2次関数のグラフの書き方がわからない人

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1. 2次関数と平方完成とは

\(y=ax^2+bx+c\)(\(a,b,c\)は定数 , \(a\neq 0\))で表される関数を2次関数といいます。

例:\(y=2x^2+4x+3\)
  \(y=x^2-4x\)


この\(y=ax^2+bx+c\)を2次関数の一般形と呼びます。


それに対して、2次関数を\(y=a(x-p)^2+q\)(\(a,p,q\)は定数 , \(a\neq 0\))の形で表すこともあります。


これを2次関数の標準形と呼びます。

例:\(y=2(x-1)^2+1\)
  \(y=(x-2)^2-4\)


一般形:\(y=ax^2+bx+c\) (\(a,b,c\)は定数 , \(a\neq 0\))
標準形:\(y=a(x-p)^2+q\) (\(a,p,q\)は定数 , \(a\neq 0\))


そして、2次関数を一般形から標準形に直すことを「平方完成」といいます。


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2. 平方完成のやり方

平方完成のやり方 3step

平方完成は次の3stepでできます。

平方完成のやり方 3step

step. 1 \(x^2\)の係数\(a\)で全体をくくる
step. 2 \(x\)の係数を半分にしたものの2乗を足して引く
step. 3 因数分解\(x^2-2ax+a^2=(x-a)^2\)をする


実際に例題を解きながら確認してみましょう!

例題1

次の2次関数を平方完成せよ。

$$y=2x^2+4x+1$$


例題1の解説

では先ほどの3stepに沿って、平方完成しましょう。


step.1 \(x^2\)の係数\(a\)で全体をくくる

\(y=2x^2+4x+1\)の\(x^2\)の係数は2なので、全体を2でくくると、

$$y=2\left(x^2+2x+\frac{1}{2}\right)$$

となります。


step.2 \(x\)の係数を半分にしたものの2乗を足して引く

いま、\(y=2(x^2+2x+\frac{1}{2})\)の\(x\)の係数は\(2\)なので、

\(x\)の係数の半分は\(1\)になります。


\(1\)を2乗すると\(1\)なので、\(1\)を足して引きます。

$$y=2(x^2+2x+1-1+\frac{1}{2})$$

\(x\)の項の後ろで足して引くとわかりやすいよ!

となります。


step.3 因数分解\(x^2-2ax+a^2=(x-a)^2\)をする

さて、step.2で

$$y=2\left(x^2+2x+1-1+\frac{1}{2}\right)$$

となりましたが、

右辺の\(x^2+2x+1\)の部分は\((x+1)^2\)に因数分解できます。


よって、

$$y=2\left\{(x+1)^2-1+\frac{1}{2}\right\}$$

となります。


最後に式を整理すれば、

$$y=2(x+1)^2-1$$

となります。


3. 平方完成で2次関数のグラフを書く!

ここまで学んできた平方完成ですが、これで2次関数のグラフを書くことができます。

2次関数は上の図のように、山もしくは谷のような形をしています。

この形のことを「放物線」と呼びます。


そして、2次関数の\(x^2\)の係数\(a\)の符号でグラフの向きが変わり、

  • \(a>0\)のときは、下に凸
  • \(a<0\)のときは、上に凸

の放物線になります。


例えば、先ほどの例題1の2次関数のグラフは次のようになります。


数学Ⅰ2次関数
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