数と式 | 中学生・高校生必見!展開の公式まとめ

数と式【公式まとめ】数と式

今回は展開の公式をまとめました!

3次式の展開公式も載せています!!

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1. 展開の基本

\(2(x+y)\)のように ( ) がついている式を、\(2x+2y\)のような一つの多項式に直すことを「展開する」といいます。


展開の最も基本的なパターンは次の分配法則です。

分配法則

$$c(a+b)=ac+bc$$

例:\(3(a+b)=3a+3b\)
  \((x+y)\times(-2)=-2x-2y\)


では、\((a+b)(c+d)\)のように ( )が2つあるときはどうすればよいのでしょうか。

このときも、やはり考え方は分配法則と同様です。

展開の基本公式

$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$

上の公式では、分配法則を2回使っています


つまり、まずは\(a\)を\((c+d)\)に分配し、次に\(b\)を\(c+d\)に分配します。

すると、

$$(a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)$$

となります。


そしたら、右辺の2つの項にそれぞれ分配法則を適用すれば、

$$a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd$$

となります。


\(c\)と\(d\)を\((a+b)\)に分配しても同じ結果になります。
$$(a+b)(c+d)=(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd$$


同様にして、
$$(a+b+c)(x+y+z)=ax+ay+az+bx+by+bz+cx+cy+cz$$

などが成り立ちます。

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2. 2次式の展開公式

  1.   \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
  2.   \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

例:\((a+3)^2=a^2+2\times a\times 3+3^2=a^2+6a+9\)
  \((x-1)^2=x^2-2\times x\times 1+1^2=x^2-2x+1\)



  1.   \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

例:\((a+2)(a-2)=a^2-2^2=a^2-4\)
  \((x-5)(x+5)=x^2-5^2=x^2-25\)



  1.   \((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\)

例:\((x+1)(x+2)=x^2+(1+2)x+1\times 2=x^2+3x+2\)
  \((a+3)(a-5)=a^2+(3-5)a+3\times(-5)=a^2-2a-15\)



  1.   \((ax+b)(cx+d)=acx+(ad+bc)x+bd\)

5. の公式は中学生は覚えなくて大丈夫だよ!

例:\((2x+3)(3x-4)=2\times 3x^2+(2\times(-4)+3\times3)x+3\times(-4)=6x^2+x-12\)



(おまけ)次の公式は覚えておくと便利です。

$$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$$

3. 3次式の展開公式

高校生は、3次式の展開も覚えておきましょう!

  1.   \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
  2.   \((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
  3.   \((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\)
  4.   \((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\)

例:\((2x+3)^3=8x^3+36x^2+54x+27\)
  \((2a-1)(4a^2+2a+1)=8a^3-1\)

数と式数学Ⅰ
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