【因数分解】「たすきがけ」や3乗の因数分解のやり方を解説!

数と式【因数分解】数と式

今回は因数分解をまとめています。

「たすきがけ」についても解説しています!

こんな人に向けて書いてます!

  • 因数分解が苦手な中学生・高校生
  • 「たすきがけ」と聞くと頭痛がする人
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1. 因数分解とは

整式を1次以上の整式の積で表すことを因数分解と言います。

\(2x+2y=2(x+y)\)


つまり、因数分解とは展開の逆の演算です。

展開についてはこちらの記事をご覧ください。


展開の基本は分配法則でしたが、因数分解の基本は次の「共通因数をくくり出す」ことです。

共通因数

$$ac+bc=c(a+b)$$

この計算を「共通因数をくくり出す」という。

また、このときの\(c\)を共通因数という。

見てわかるように、「共通因数をくくり出す」は「分配法則」の逆になります。

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2. 2次式の因数分解

まず、因数分解するに当たって、次の数は覚えておきましょう。

1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 , 100 , 121 , 144 , 169 , …

この数にはどのような特徴があるかわかりますか?


そうですね、自然数を2乗した数になっています。

例えば、\(1=1^2\) , \(4=2^2\) , \(9=3^2\) ですね。

これらの数をこれから「因数分解の目印」と呼ぶことにします。

「因数分解の目印」
1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 , 100 , 121 , 169 , …


「因数分解の目印」が出たら、次の1,2,3の公式を使うことが多いです。


  1.  \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)
  2.  \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)

\(a^2+6a+9=(a+3)^2\)
\(x^2-4x+4=(x-2)^2\)


上の例では 9 や 4 が因数分解の目印ですね。

このように、因数分解の目印を見つけたら、「上の公式が使えるかも?」と疑いましょう。



  1.  \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

\(a^2-64=(a+8)(a-8)\)

今回も64が因数分解の目印になっていますね。

もちろん、\((a-8)(a+8)\)でも正解です。



  1.  \(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)

4. の公式は因数分解の目印が出てきません。

言い換えれば、因数分解の目印がないときは、公式4. を疑いましょう。


\(x^2+7x-30=(x+10)(x-3)\)


このパターンの因数分解は、まず定数項(\(x\)や\(a\)などの文字がついてない項、今回なら -30)に注目します。


そして、\(a\times b=-30\)となるような\(a\)と\(b\)を見つけます。

すると、下の表のようになりますね。

\(a\)\(b\)\(ab\)
1-30-30
2-15-30
3-10-30
5-6-30
6-5-30
10-3-30
15-2-30
30-1-30

\(a\)と\(b\)の順番は考慮しません。
つまり、\(a=-1\),\(b=30\)も\(ab=30\)ですが、この場合は\(a=30\),\(b=-1\)と同じとします。


そして、今求めた\(a\)と\(b\)の組みのうち、足したときに\(x\)の係数7に一致するものを見つけます。

\(a\)\(b\)\(a+b\)\(ab\)
1-30-29-30
2-15-13-30
3-10-7-30
5-6-1-30
6-51-30
10-37-30
15-213-30
30-129-30


すると、\(a=10\),\(b=-3\)のペアが、足したとき\(a+b=7\)となります。


よって、因数分解すると、

$$x^2+7x-30=(x+10)(x-3)$$

となるわけです。

因数分解の目印がないとき、
\(x^2+px+q\)の因数分解は、
  (1) かけて\(q\)になり、
  (2) たして\(p\)になるような

2つの数\(a\) , \(b\)を求める!

3. たすきがけの因数分解

ここからは高校生向けです。


\(px^2+qx+r\)の因数分解を考えます。


\(x^2\)にも係数がついてしまっています。

このときは、「たすきがけ」と呼ばれる方法で因数分解をします。

たすきがけの手順

\(px^2+qx+r\)に対して、

step. 1 \(ac=p\)となる2数\(a,c\)を求める

step. 2 \(bd=r\)となる2数\(b,d\)を求める

step. 3 \(ad+pc=q\)となる\(a,b,c,d\)を見つける

step. 4 \((ax+b)(cx+d)\)と因数分解する。


たすきがけのやり方は例題で確認しましょう。

  例題1  

\(2x^2+5x+3\)を因数分解せよ。


例題1の解説

step.1 \(ac=p\)となる2数\(a,c\)を求める

まずは、\(ac=2\)となる2数\(a,c\)を求めます。


これは、次の2パターンです。

(\(a\),\(c\)) = (1,2) , (-1,-2)

\(a\)と\(c\)は区別しなくて大丈夫です。
つまり、\((a,c)=(2,1)\)は\((1,2)\)と同じとしています。


step.2 \(bd=r\)となる2数\(b,d\)を求める

次は、\(bd=3\)となる2数\(b,d\)を求めます。

これは次の4パターンです。

(\(b\),\(d\)) = (1,3) , (3,1) , (-1,-3) , (-3,-1)

ここでは、\(b\)と\(d\)は区別しています。
つまり、\((b,d)=(1,3)\)と\((3,1)\)は別のものとして扱っています。
step.1と同様に区別しなくてもいいですが、区別した方がわかりやすいと思います。


step.3 \(ad+pc=q\)となる\(a,b,c,d\)を見つける

さて、ここから\(ad+pc=5\)となる\(a,b,c,d\)を見つけます。

そのときに次の図を使って見つけます。


例えば、step.1 から\(a=1,c=2\)、step.2 から\(b=3,d=1\)を選んで、表に入れてみます。


すると、表の右下が7になっていて、\(x\)の係数5になっていません。

よって、この\(a,b,c,d\)の組は間違いということになります。



では次に、step.1 から\(a=1,c=2\)、step.2 から\(b=1,d=3\)を選んでみます。


すると、表の右下が\(x\)の係数5に一致しました。

よって、\(a=1,b=1,c=2,d=3\)が正しい組み合わせということがわかりました。


step.4 \((ax+b)(cx+d)\)と因数分解する。

最後は簡単です。

たすきがけの図を見ればすぐに因数分解できます。


よって、\(2x^2+5x+3\)を因数分解すると、

$$(x+1)(2x+3)$$

となります。

4. 3次式の因数分解

  1.  \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
  2.  \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)

\(a^3+27=(a+3)(a^2-3a+9)\)
\(64x^3-1=(4x-1)(14x^2+4x+1)\)

数と式数学Ⅰ
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