数と式 | 中学生でもわかる!有理化のやり方!

数と式【有理化】数と式

今回は有理化について解説します。

こんな人に向けて書いてます!

  • 有理化のやり方を調べている中学生・高校生
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1. 有理化とは?

まず、有理化とは何でしょうか。

式を変形して、分母のルートをなくすことを有理化と言います。

\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)


上の例では、左辺の分母に\(\sqrt{2}\)がありますが、

右辺では分母が\(2\)になりルートがなくなりました。


これが有理化するということです。


有理化はだいたい次の2パターンのどちらかです。

やり方は簡単なので、一緒に確認していきましょう!


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2. 分母が\(k\sqrt{a}\)のときの有理化

分母が\(k\sqrt{a}\)の形のときは、

分母と分子に\(\sqrt{a}\)をかけると有利化できます!


はい!それだけです!

ほんとに単純なので、すぐにできちゃうと思います。


念のため例題で確認しておきましょう。

  例題1  

\(\displaystyle\frac{8}{3\sqrt{6}}\)を有理化せよ。


例題1の解説

分母に\(3\sqrt{6}\)なので、分母と分子に\(\sqrt{6}\)をかけます。

すると、

  \(\displaystyle\hspace{1em}\frac{8}{3\sqrt{6}}\)

  \(\displaystyle=\frac{8\times\sqrt{6}}{3\sqrt{6}\times\sqrt{6}}\)

  \(\displaystyle=\frac{8\times\sqrt{6}}{18}\)

  \(\displaystyle=\frac{4\times\sqrt{6}}{9}\)

  \(\displaystyle=\frac{4\sqrt{6}}{9}\)

これで、分母にルートがなくなったので、有理化できました!

3. 分母が\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\)または\(\sqrt{a}+b\)の有理化

分母が\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\)のときは、分母と分子に\(\sqrt{a}-\sqrt{b}\)をかけます。


分母が\(\sqrt{a}+b\)のときは、分母と分子に\(\sqrt{a}-b\)をかけます。


つまり、真ん中の符号を変えたものをかければ良いということになります。


すると、展開の公式\((p+q)(p-q)=p^2+q^2\)によってルートが消えるというわけです。


展開の公式については下の記事をご参照ください。


こちらも例題で確認していきましょう。


  例題2  

次の式を有理化せよ。

(1) \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\)

(2) \(\displaystyle\frac{5}{\frac{3}+1}\)


例題2の解説

このように分母が2つの項になっているときは、真ん中の符号を変えたものを分母と分母にかければよいです。


つまり、

(1)では、分子分母に\(\sqrt{2}-\sqrt{3}\)を

(2)では、分子分母に\(\sqrt{3}-1\)を

かけると有理化できます。


よって、(1)は、

  \(\displaystyle\hspace{1em}\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\)

  \(\displaystyle=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})}\)

  \(\displaystyle=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}\)

  \(\displaystyle=\sqrt{3}-\sqrt{2}\)

となり、

(2)は、

  \(\displaystyle\hspace{1em}\frac{5}{\sqrt{3}+1}\)

  \(\displaystyle=\frac{5(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}\)

  \(\displaystyle=\frac{5(\sqrt{3}-1)}{3-1}\)

  \(\displaystyle=\frac{5(\sqrt{3}-1)}{2}\)

となります。

数と式数学Ⅰ
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