「あれ?2重根号ってどうやって外すんだっけ?」という疑問を即解決!2重根号の外し方をパターン別に解説!!

2重根号の外し方数と式
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今回は2重根号の外し方について、パターン別に解説しています!

こんな人に向けて書いてます!

  • 2重根号の外し方がわからない人
  • 式変形をして2重根号を外すパターンが苦手な人
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1. 2重根号とは

ルートの中にルートが入っているとき、

つまり、\(\sqrt{p+\sqrt{q}}\)となっている式のことを「2重根号」といいます。

\(\sqrt{9+6\sqrt{2}}\)


二重根号は、普通のルートの式に直せる場合があります。

これを「2重根号を外す」といいます。

\(\sqrt{9+6\sqrt{2}}=\sqrt{6}+\sqrt{3}\)

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2. 2重根号の外し方

2重根号の外し方

\(a+b=p\) , \(ab=q\) となる2つの数 \(a\) , \(b\) があるとき、

\(\sqrt{p+2\sqrt{q}}\)\(=\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}\)\(=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) (ただし、\(a>0\) , \(b>0\))

\(\sqrt{p-2\sqrt{q}}\)\(=\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}\)\(=\sqrt{a}-\sqrt{b}\) (ただし、\(a>b>0\))

\(2\sqrt{q}\)となっているところがポイントだよ!

え、じゃあ2がついてないときはどうするの?

2がついてないときの方法は3章で解説しているよ!

2重根号は必ずしも外せるとは限りません。
ですが、外せるときは外すようにしまよう。


  例題1  

次の2重根号を外して、式を簡単にせよ。

(1) \(\sqrt{5+2\sqrt{6}}\)

(2) \(\sqrt{9-2\sqrt{14}}\)


例題1の解説

(1),(2)のどちらも公式に当てはめればできます。


まず、(1)に関しては、

$$a+b=5,ab=6$$

となる2つの正の数\(a,b\)を求めます。


よって、\(a=3,b=2\)ですね。

もちろん、\(a=2,b=3\)でも大丈夫です。


よって、公式\(\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)により、

$$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$$

になります。


(2)についても同様で、

$$a+b=9,ab=14$$

となる2つの正の数は、\(a=7,b=2\)です。


ここで注意点があって、\(\sqrt{9-2\sqrt{14}}\)のように、2重根号の中にマイナスがあるときは、\(a>b\)となるようにしなければなりません。


つまり、(1)とはちがって、\(a=2,b=7\)としてはいけません。


必ず\(a=7,b=2\)のように\(a\)の方が\(b\)より大きくなるようにしましょう。


あとは、公式\(\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}\)により、

$$\sqrt{9-2\sqrt{14}}=\sqrt{7}-\sqrt{2}$$

となります。

\(a>b\)とする理由

\(a=2,b=7\)としてしまうと、

$$\sqrt{9-2\sqrt{14}}=\sqrt{2}-\sqrt{7}$$

となりますが、

\(\sqrt{2}<\sqrt{7}\)なので、右辺は負になります。

しかし、左辺はルートなので正の数となり、矛盾します。

なので、\(a>b\)となるように\(a,b\)を取らないといけないのです。

3. \(p+2\sqrt{q}\)の形になっていない場合

ここからは、\(p+2\sqrt{q}\)の形になっていない場合について解説します。

いくつかのパターンがあるので、それぞれ見ていきましょう。


\(q\)が4の倍数のとき

このときは、ルートの中を簡単にすれば、\(2\sqrt{q}\)の形にできます。


例えば、\(\sqrt{5-\sqrt{24}}\)は24が4の倍数なので、

$$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$$

とできます。


そしたら、\(\sqrt{5-\sqrt{24}}=\sqrt{5-2\sqrt{6}}\)となり、公式に当てはめることができます。

\(3+2=5,3\times2=6\)なので、

  \(\sqrt{5-\sqrt{24}}\)

  \(=\sqrt{5-2\sqrt{6}}\)

  \(=\sqrt{3}-\sqrt{2}\)

となります。

\(\sqrt{q}\)の係数が、4,6,8,…のとき

  例題2  

\(\sqrt{11+4\sqrt{6}}\)を簡単にせよ。


例題2の解説

\(\sqrt{11+4\sqrt{6}}\)は、\(\sqrt{6}\)の係数が4になっています。

このときは、\(4\sqrt{6}\)を変形して、係数を無理やり2にします。


つまり、

  \(4\sqrt{6}\)

  \(=2\times2\sqrt{6}\)

  \(=2\sqrt{6\times2^2}\)

  \(=2\sqrt{24}\)

となります。


よって、\(\sqrt{11+4\sqrt{6}}=\sqrt{11+2\sqrt{24}}\)となるので、公式の形になりました。

\(a=8,b=3\)とすれば、\(a+b=11,ab=24\)となるので、

  \(\sqrt{11+4\sqrt{6}}\)

  \(=\sqrt{11+2\sqrt{24}}\)

  \(=\sqrt{8}+\sqrt{3}\)

  \(=2\sqrt{2}+\sqrt{3}\)

となります。


今回は\(\sqrt{q}\)の係数が4でしたが、6や8のときも同様のやり方でできます。

どうしようもないとき(分数にする方法)

いままでのどのパターンにも当てはまらないときは、分数の形にして無理やり\(2\sqrt{q}\)の形にします。

  例題3  

\(\sqrt{3+\sqrt{5}}\)を簡単にせよ。


例題3の解説

今回のパターンは、\(\sqrt{q}\)の係数が4,6,8,…でなく、\(q\)も4の倍数ではありません。

このときは、ルートの中の分母と分子に2をかけます。


つまり、

  \(\sqrt{3+\sqrt{5}}\)

  \(\displaystyle=\sqrt{\frac{2(3+\sqrt{5})}{2}}\)

  \(\displaystyle=\sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{2}}\)

  \(\displaystyle=\frac{\sqrt{6+2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}\)

となります。


そしたら、分子に対して、\(a+b=6,ab=5\)となる正の数\(a,b\)を探すと、\(a=5,b=1\)となります。


よって、公式に当てはめると、

  \(\displaystyle=\frac{\sqrt{6+2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}\)

  \(\displaystyle=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{1}}{\sqrt{2}}\)

  \(\displaystyle=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}\)

  \(\displaystyle=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)

となります。


式の最後は有理化しています。

有理化がわからない人は、下の記事をご覧ください。



これで、2重根号の外し方についての解説は以上です。

最初にも話した通り、2重根号は必ずしも外せるとは限りません。

もし、今回説明したどの方法でも2重根号が外せないという場合は、おそらく2重根号が外せない式だと思うので、そのときは2重根号のまま答えにすればOKです。

数と式数学Ⅰ
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