どっちが必要条件で、どっちが十分条件だっけ? | 命題とは?

必要条件・十分条件数と式
Image by Peter Ahrend from Pixabay

必要条件と十分条件は、どっちがどっちか忘れやすいですよね。

そんな方のために、必要条件と十分条件の覚え方についてまとめました。

こんな人に向けて書いてます!

  • 必要条件と十分条件に悩まされている人
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1. 命題とは?

命題とは、⭕️か❌かがはっきりと定まる文や式のことです。


例えば、

「\(\sqrt{2}\)は無理数である。」

という文は、はっきりと⭕️と言えるので命題です。


では、次の文は命題でしょうか。

「0.1は整数である。」

これはもちろん❌ですよね。

じゃあ命題じゃないね!

となりそうですが、これも命題です。


もう一度、命題の定義を思い出しましょう。

命題とは、⭕️か❌かがはっきりと定まる文や式のことでした。

そのため、たとえ答えが❌だったとしても、それは命題になります。


じゃあ命題じゃないときってどんなとき?

という疑問が出てくると思います。


命題ではないときは、⭕️か❌かがはっきり定まらないときです。


例えば、

「犬より猫の方がかわいい。」

という文は、⭕️とも❌とも言えません。


なぜなら、犬の方が好きな人がいれば、猫の方が好きな人もいるため、一概に⭕️とも❌とも言えません。


このときは⭕️や❌がはっきりと定まると言えないので命題ではありません。


さて、ここまで⭕️や❌という記号で命題とは何かを説明してきましたが、

数学では、⭕️のことを「しん」、❌のことを「」と呼びます。

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2. 必要条件と十分条件

ここからは、「\(p\)ならば\(q\)」の形で表される命題について扱います。

このとき、\(p\)のことを「仮定」、\(q\)のことを「結論」と呼び、「\(p\Rightarrow q\)」と表します。


命題「\(p\Rightarrow q\)」が真のとき、

\(p\)は(\(q\)であるための)十分条件
\(q\)は(\(p\)であるための)必要条件

といいます。

結論が必要」という風に覚えておきましょう。



ときには\(p\Rightarrow q\)が真のとき、仮定と結論を逆にした\(q\Rightarrow p\)も真になるときがあります。


例えば、

『「令和2年である」ならば「西暦2020年である」』

という命題があったとします。

この命題はもちろん真です。


一方で、逆にして

『「西暦2020年である」ならば「令和2年である」』

も真になります。


このように、「\(p\Rightarrow q\)」と「\(q\Rightarrow p\)」の両方が真であるとき、

「\(p\)は\(q\)であるための必要十分条件である」

(「\(q\)は\(p\)であるための必要十分条件である」)

といい、「\(p\Leftrightarrow q\)」と表します。

3. 集合と必要条件・十分条件

必要条件・十分条件について集合の分野から考察してみましょう。


命題「\(p\Rightarrow q\)」に対して、

\(p\)をみたす集合を\(P\)、\(q\)をみたす集合を\(Q\)としたときに、

「\(p\Rightarrow q\)」は真であるときは、\(P\supset Q\)となります。


そのため、必要条件か十分条件か知りたいときは、集合の図を書くとわかりやすいです。

内側の集合が十分条件になり、外側の集合が必要条件となります。


イメージしやすいように具体例を出します。


命題「哺乳類ほにゅうるいならば動物である」について考えましょう。

この命題はもちろん真であることがわかると思います。


さてここで、哺乳類である集合を\(P\)、動物である集合を\(Q\)とします。


例えば、集合\(P\)には、ヒト、イヌ、ネコ、ウサギなどが含まれています。

そして、集合\(Q\)は動物なので、こちらにも\(P\)と同じくイヌやネコなどの要素が含まれています。


ちゃんと集合\(P\)は集合\(Q\)の部分集合になっていますね。


\(P\supset Q\)となっているとき、「\(p\Rightarrow q\)」は真。
逆に、「\(p\Rightarrow q\)」が真のとき、\(P\supset Q\)となる。


もちろん、\(P=Q\)のときは\(p\Leftrightarrow q\)となります。

数と式数学Ⅰ
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