場合の数 | 順列(P)と組合せ(C)の違いは?どう使い分ける?

順列(P)と組合せ(C)の違いは?どう使い分ける?場合の数と確率
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今回は、順列と組合せについて解説します。

第1章から第3章までは、順列(P)と組合せ(C)について、意味や計算の仕方について詳しく解説しています。


PとCの意味は知ってるけど、どう使い分けるかがわかんない!!

という人は、第4章「結局、順列(P)と組合せ(C)は何が違う?」から読んでみてください!

こんな人に向けて書いてます!

  • P とか C とか ! とかの計算がわからない人
  • PとCのどっちを使えばいいかわからない人
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1. 順列(P)とは?

\(n\)個の中から\(r\)個だけ取り出して、順番に1列に並べるとします。


このときに、何パターンの並べ方があるかというと、

$$n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)$$

パターンあり、これを\({}_nP_r\)と表し、「\(n\)個から\(r\)個とる順列」と言います。


\({}_nP_r\)の\(P\)は順列(permutation)の頭文字を取っています。


順列のポイントは、取り出す順番が関係するということです。


つまり、「1回目にx、2回目にy、3回目にz を取り出したとき」を(x,y,z)で表すとすると、

(a,b,c)と(c,b,a)は中身は同じですが、順番が違うため、別のものとしてカウントします。


一方で、「組合せ(C)」では、順番を考慮しないので、(a,b,c)と(c,b,a)は同じものとしてみなします。

順列の定義

\({}_nP_0\)は0ではなく1として定義されるので注意しましょう。


例えば、次のような例題を考えましょう。

例題1

5個の整数1,2,3,4,5のうちから、異なる3つを選んでできる3桁の整数は全部で何個あるか。


例題1の解説

この問題は順番も重要になってきます。


例えば、1回目に1、2回目に2、3回目に3を選べば、「123」になりますが、

1回目に3、2回目に2、3回目に1を選べば、「321」となります。


よって、(1,2,3)と(3,2,1)は別物となるので、順番も考慮する必要があります。


そこで、順列の式を使えば、5個のものから3個を選ぶので、

$${}_5P_3=5\times4\times3=60$$

となるので、答えは60個です。

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2. 階乗(!)とは?

先ほどの章で、\(n\)個から\(r\)個とる順列を\({}_nP_r\)と表すことを説明しました。


\(r=n\)のとき、つまり\(n\)個のうち\(n\)個全部を取って並べる順列

$${}_nP_n=n(n-1)(n-2)\cdots3 \cdot 2 \cdot 1$$

を\(n\)の階乗といい、\(n!\)で表します。


階乗の定義

\({}_nP_0=1\)なので、\(0!={}_0P_0=1\)となる。
\(0!=0\)としないように注意!


例題2

1,2,3,4の4個の数字を並び替えて4桁の整数を作るとき、異なる整数は全部で何個できるか。


例題2の解説

今回は例題1と違って、4個の数字全部を並び替えます。

よって、階乗の出番です。

$$4!=4\times3\times2\times1=24$$

となるので、答えは24個です。

3. 組合せとは?

\(n\)個のものの中から異なる\(r\)個のものを取り出して組を作ります。


このときに作ることができる組の総数は、

$$\frac{{}_nP_r}{r!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)}{r!}$$

パターンあり、これを「\(n\)個から\(r\)個とる組合せ」といい、\({}_nC_r\)で表します。


順列と何がちがうの?

と疑問に持った人もいると思います。


順列と組合せの違いは、順番も考慮するかしないかの違いです。

つまり、1回目にx、2回目にy、3回目にz を取り出したときを(x,y,z)で表すとすると、

順列では、(a,b,c)と(c,b,a)は別物として扱いますが、

組合せは(a,b,c)と(c,b,a)は同じものとして考えます。


そのため、組合せでは順列のときと比べて\(r!\)倍の重複ができるので、

$${}_nC_r=\frac{{}_nP_r}{r!}$$

となるのです。


\({}_nC_r\)の\(C\)はコンビネーション(combination)の頭文字を取っています。


組合せの定義

\({}_nP_0=1\)、\(0!=1\)なので、
$${}_nC_0=\frac{_nP_0}{0!}=\frac{1}{1}=1$$


組合せ(C)には次の性質があります。

  1. \({}_nC_r={}_nC_{n-r}\)(\(0\leq r\leq n\))
  2. \({}_nC_r={}_{n-1}C_{r-1}+{}_{n-1}C_r\) (\(1\leq r \leq n-1\) , \(n\leq 2\))

特に、性質1. の方はよく使うので覚えておきましょう。

\({}_{100}C_{99}={}_{100}C_1=100\)

4. 結局、順列(P)と組合せ(C)は何が違う?

最後に、順列(P)と組合せ(C)の違いをまとめましょう。


ずばり、順列とは、順番も考慮したときの取り出し方の総数で、

組合せは、順番は無視した取り出し方の総数を表しています。


もっと噛み砕いていうと、

順列のときは、選ばれた物の中に区別ができます


例えば、カードを1列に並べるときは、一番左のカード、2番目のカード、… 、一番右のカードのように、選ばれたカードそれぞれが区別されるので、順列になります。


他の例をあげると、クラスの中から委員長、副委員長、書記の3人を選ぶときなどは、3人を選ぶだけではなく、そのなかでさらに委員長、副委員長、書記に区別されるので、これも順列になります。


一方、組合せの方は、選ばれた物の中に区別がありません


例えば、クラスの中から代表を3人選ぶときは、選ばれた3人をさらに区別する必要がないので、これは組合せになります。


慣れるまではどっちを使えばいいかわからないと思いますが、悩んだら選ぶ順番も重要かどうかを考えるようにしましょう!



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