「素数って何?」「素因数分解ってどうやる?」そんな悩みを即解決!素因数分解のコツも紹介!

素数と素因数分解中学数学

今回は素数や素因数分解について解説します。

中学生でもわかりやすいようにまとめています!

こんな人に向けて書いてます!

  • 「素数って何?」という人
  • 素因数分解のやり方がわからない人
  • 素因数分解に時間がかかる人
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1. 素数とは?

素数とは、次の2つの条件の両方を満たす数のことをいいます。

  1.  1より大きい自然数
  2.  1か自分自身以外の整数では割り切れない


例えば、7が素数かどうかについて考えましょう。


もちろん7は1より大きいので、上の条件1.をみたします。


では、条件2.についてはどうでしょう。

条件2.を確かめるには、7を1と7以外の「2,3,4,5,6」で割ってみればわかります。

(もちろん7は7より大きい数では割り切れませんので、8以上については確認する必要はないです。)


すると、7は「2,3,4,5,6」のどれで割ってもあまりが出てきてしまいます。

よって、7は、1か7自身でしか割り切れないので、条件2.を満たすことになります。


これで、7が素数であることがわかりました。



では、次に8が素数かどうかについて考えましょう。

もちろん8は1より大きいので条件1.はOKです。


では、条件2.について確認するために、8が「2,3,4,5,6,7」で割り切れるか確認します。

すると、8は2で割り切れてしまいます。

(4でも割り切れますね)


そのため8は、「1か8自身でしか割り切れない」は成り立たないので、条件2.を満たしませんね。

ということで、8は素数ではないことがわかります。


ちなみに、よくこんな疑問を持つ人がいます。

あれ?1は素数だっけ??


さて、あなたはどう考えますか?

1は素数でしょうか、素数ではないでしょうか?


少し自分で考えてみましょう。



さて、答えはわかりましたか?


そうですね、1は素数ではありません。


なぜなら、素数になるための条件1. は「1より大きい自然数」でしたね。

1は1より大きくないので、素数ではありません。


よく間違える人が多いので、しっかり覚えておきましょう!


ただ、素数かどうかを確認するときに、毎回割り算するのは面倒なので、素数についてはある程度覚えておくとよいです。

素数 : 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , …

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2. 素因数分解とは?

素数について学んだところで、次は素因数分解について勉強しましょう。

素因数分解とは、自然数を素数の掛け算で表すことです。


例えば、6は素数2と3を用いて、

$$6=2\times 3$$

と表せます。

これが素因数分解です。


もう一つ例を出しましょう。

12は素数2と3を用いて、

$$12=2\times 2\times 3$$

と表せます。


そして、同じものを2回以上掛けるときは、指数を使って、

$$12=2^2\times 3$$

と表しましょう。


\(8=2^3\)

\(84=2^2\times 3\times 7\)

3. 素因数分解のやり方

では、素因数分解のやり方について紹介します。

次の例題を解きながら、素因数分解の手順について学びましょう。


例題1

54を素因数分解せよ。


 例題1の解説 

素因数分解するときは、小さい素数から順番に割っていきます。


そのため、最初にも書いたように、素数はある程度覚えておくとよいです。

素数 : 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , …


ということで、54を素因数分解するので、まずはいちばん小さい素数2で割ってみます。


54を2で割った商は27ですね。

このときに、下の図のように書きます。


そしたら、次は27を同じように素数で割ります。


いちばん小さい素数は2ですが、27は2では割れません。

そのため、次に大きい素数3で27を割ります。


そして、下の図のように書きます。


あとは、これの繰り返しです。

そして、いちばん下の数が素数になるまで続けます。

すると、最終的に下の図のようになると思います。



そしたら、最後に上の図のピンク色の部分に注目すると、

$$54=2\times3\times3\times3=2\times3^3$$

となるので、これで54が素因数分解できました!



今回は2と3だけで素因数分解できましたが、2でも3でも割り切れないときは、5や7で割ることもあります。

4. 素因数分解に役立つテクニック

素因数分解するときに、2や3で割っていきますが、

数が大きくなってくると、2や3で割り切ることができるのかがすぐに判断できないことがあると思います。


そんなときに役立つのが次のテクニックです。


  • 一の位が 0,2,4,6,8(つまり偶数)なら、2の倍数
  • 全部の位の数を足して3の倍数になるなら、その数自身も3の倍数


わかりやすいように具体例を出しましょう。


まず2の倍数かどうかを判断するときですが、2の倍数かどうかは、その数の一の位だけで決まります。


例えば、1234567890という10桁の整数が2の倍数かどうか知りたければ、一の位の0にだけ注目すればよいです。

0は偶数なので、1234567890も偶数、つまり2の倍数ということがすぐにわかります。



また、3の倍数かどうかを判断するときは、すべての位の数を足して3の倍数になっていれば、その数自身も3の倍数になります。

例えば、12345のすべての位を足すと、

$$1+2+3+4+5=15$$

となり、もちろん15は3の倍数です。

なので、12345も3の倍数ということが確認できます。


これらのテクニックを覚えておけば、実際に割り算しなくても2の倍数や3の倍数なのかがすぐに判断できるので、覚えておくと良いでしょう。

中学数学
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