【ヘロンの公式】を使って面積を求める方法!証明あり

三角比【ヘロンの公式】三角比

今回はヘロンの公式について解説します!

こんな人に向けて書いてます!

  • ヘロンの公式で面積を求めたい人
  • ヘロンの公式の証明がわからない人
スポンサーリンク

1. ヘロンの公式

ヘロンの公式

\(\triangle{ABC}\)の面積\(S\)は、

$$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

ただし、\(2s=a+b+c\)


ヘロンの公式の使い方を、下の例題で確認してみましょう。

例題1

\(\triangle{ABC}\)は\(a=5\) , \(b=8\) , \(c=9\) である。
\(\triangle{ABC}\)の面積\(S\)を求めよ。


 例題1の解説 

ヘロンの公式を使うには、まず\(\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}\)を求めましょう。

今回の例題なら、\(s\)は、

$$s=\frac{5+8+9}{2}=11$$

となります。

あとは、公式に代入すると、

  \(S=\sqrt{11\cdot (11-5)\cdot (11-8)\cdot (11-9)}\)

  \(\hspace{1em}=\sqrt{11\cdot 6\cdot 3\cdot 2}\)

  \(\hspace{1em}=6\sqrt{12}\)

となります。



ヘロンの公式は常に効率的とは限らない。
とくに\(s\)が分数になるときなどは、計算が煩雑になることもある。

スポンサーリンク

2. ヘロンの公式の証明

ヘロンの公式を証明するにあたって、まず次の公式を紹介しておきます。

三角形の面積

\(\triangle{ABC}\)の面積を\(S\)とすると、

$$S=\frac{1}{2}bc\sin{A}=\frac{1}{2}ca\sin{B}=\frac{1}{2}ab\sin{C}$$


この公式を用いて、ヘロンの公式を証明します。


まず、余弦定理により、

$$\cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$

となります。


余弦定理については、下の記事に詳しくまとめています。


ここから、公式\(\displaystyle S=\frac{1}{2}bc\sin{A}\)を使うために、cosからsinを求めます。


つまり、\(\sin^2{A}+\cos^2{A}=1\)により、

  \(\displaystyle \sin^2{A}=1-\cos^2{A}\)

  \(\displaystyle \hspace{2em}=(1-\cos{A})(1+\cos{A})\)

  \(\displaystyle \hspace{2em}=\left(1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)\left(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)\)

  \(\displaystyle \hspace{2em}=\left(\frac{2bc-b^2-c^2+a^2}{2bc}\right)\left(\frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)\)

  \(\displaystyle \hspace{2em}=\left(\frac{a^2-(b-c)^2}{2bc}\right)\left(\frac{(b+c)^2-a^2}{2bc}\right)\)

  \(\displaystyle \hspace{2em}=\left(\frac{(a-b+c)(a+b-c)}{2bc}\right)\left(\frac{(-a+b+c)(a+b+c)}{2bc}\right)\)

  \(\displaystyle \hspace{2em}=\frac{(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a+b+c)}{4b^2c^2}\)


ここで、\(a+b+c=2s\)とおくと、

  \(a-b+c=2s-2b=2(s-b)\)
  \(a+b-c=2s-2c=2(s-c)\)
  \(-a+b+c=2s-2a=2(s-a)\)

となるから、上の式に代入すると、

  \(\displaystyle \sin^2{A}=\frac{16s(s-a)(s-b)(s-c)}{4b^2c^2}\)

  \(\displaystyle \hspace{2em}=\frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{b^2c^2}\)


\(\sin{A}>0\)であるから、

  \(\displaystyle \sin{A}=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{bc}

となる。


よって、\(\displaystyle S=\frac{1}{2}bc\sin{A}\)より、

  \(\displaystyle S=\frac{1}{2}bc \times \frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{bc}\)

となり、右辺を約分すると、

  \(\displaystyle S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

を得る。

(証明終わり)

三角比数学Ⅰ
スポンサーリンク
OchibaAtsuoをフォローする
ますますmathが好きになる!魔法の数学ノート

コメント

タイトルとURLをコピーしました