期待値とは?/確率変数の分散と標準偏差の求め方/aX+bの期待値と分散/標準化

確率変数と期待値数学B
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今回から数学Bの最後の範囲である確率分布について解説していきます!

こんな人に向けて書いてます!

  • 確率分布について勉強したい人
  • 期待値って何?という人
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1. 確率分布と確率変数

サイコロを1回投げるときに出る目を\(X\)としましょう。

すると、\(X\)は1,2,3,4,5,6のいずれかになります。


たとえば、サイコロで1の目が出る確率を\(P(X=1)\)と表すとすると、

$$P(X=1)=\frac{1}{6}$$

となることはすぐにわかると思います。


同様に、2の目が出る確率を\(P(X=2)\)とすると、

$$P(X=2)=\frac{1}{6}$$

となります。


これらの関係を表にすると、下の図のようになります。


このように、\(X\)の値が決まれば、それに応じて\(P\)の値もただ一つに決まります。

つまり、\(P\)は\(X\)を変数とする関数であるといえます。


このように、確率を伴った変数\(X\)を確率変数といいます。

確率変数の各値と確率との対応関係のことを確率分布といいます。


確率変数\(X\)が値\(a\)をとるという事象を\(X=a\)で表し、その確率を\(P(X=a)\)とかきます。


また、確率変数は一つの値ではなく、区間で指定するときもあります。

たとえば、確率変数\(X\)が\(a\)以上\(b\)以下の値をとるときの確率は、\(P(a\leq X\leq b)\)で表します。


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2. 期待値

確率変数の期待値

確率変数\(X\)の確率分布が下の表で与えられているとする。

このとき、

$$E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n$$

とするとき、\(E(X)\)を\(X\)の期待値または平均という。

\(\sum\)を使うと\(\displaystyle E(X)=\sum_{k=1}^n{x_kp_k}\)と表せるね!


例題1

サイコロを1回投げるときに出る目の期待値\(E(X)\)を求めよ。


 例題1の解説 

サイコロを1回投げるときの確率分布は下の表のようになることは先ほども確認しましたね。


ここから期待値\(E(X)\)を求めるときは、確率変数と確率の積の合計を求めれば良いのでした。

よって、


 \(\displaystyle 1\cdot\frac{1}{6}+2\cdot\frac{1}{6}+3\cdot\frac{1}{6}+4\cdot\frac{1}{6}+5\cdot\frac{1}{6}+6\cdot\frac{1}{6}\)

\(\hspace{1em}=(1+2+3+4+5+6)\times\frac{1}{6}\)

\(\displaystyle\hspace{1em}=\frac{21}{6}\)

\(\hspace{1em}=3.5\)


となります。

よって、期待値は\(E(X)=3.5\)となります。

(例題終わり)

3. 分散と標準偏差

確率変数の分散と標準偏差

確率変数\(X\)の確率分布が下の表で与えられているとする。

また、\(X\)の期待値を\(m\)とする。

このとき、

$$V(X)=E((X-m)^2)=\sum_{k=1}^n(x_k-m)^2p_k$$

とするとき、\(V(X)\)を\(X\)の分散という。


また、

$$\rho(X)=\sqrt{V(X)}$$

とするとき、\(\rho(X)\)を\(X\)の標準偏差という。


また、分散は上の定義式から求めるよりも、下の公式を使った方が計算が楽になることが多いです。

分散の公式

\(X\)の分散を\(V(X)\)とすると、

$$V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2$$


次の例題で確認してみましょう!

例題2

サイコロを1回投げるときに出る目の分散\(V(X)\)を求めよ。


 例題2の解説 

例題1より、\(\displaystyle E(X)=\frac{7}{2}\)です。


分散の公式を使うため、\(E(X^2)\)を求めましょう。

すると、

\(\displaystyle 1^2\cdot\frac{1}{6}+2^2\cdot\frac{1}{6}+\cdots+6^2\cdot\frac{1}{6}\)

\(\hspace{1em}=(1^2+2^2+\cdots+6^2)\times\frac{1}{6}\)

\(\displaystyle\hspace{1em}=\frac{91}{6}\)


よって、分散の公式より、

$$V(X)=\frac{91}{6}-\left(\frac{7}{2}\right)^2=\frac{35}{12}$$

となります。

(例題終わり)

4. \(aX+b\)の期待値と分散/標準化

\(aX+b\)の期待値・分散

\(a\)と\(b\)を定数とするとき、次が成立する。

$$E(aX+b)=aE(X)+b$$

$$V(aX+b)=a^2V(X)$$

\(E\)は期待値で\(V\)は分散だったね!


例えば、確率変数\(X\)に対して、

$$m=E(X)\ , \ \sigma=\sqrt{V(X)}$$

とするとき、

$$Z=\frac{X-m}{\sigma}$$

となる変換を考えます。


このとき、\(Z\)の期待値と分散は、上の公式から次のようになります。


 \(\displaystyle E(Z)=E\left(\frac{1}{\sigma}X-\frac{m}{\sigma}\right)\)

 \(\displaystyle \hspace{2em}=\frac{1}{\sigma}E(X)-\frac{m}{\sigma}\)

 \(\displaystyle \hspace{2em}=\frac{1}{\sigma}E(X)-\frac{m}{\sigma}\)

 \(\displaystyle \hspace{2em}=\frac{1}{\sigma}\times m-\frac{m}{\sigma}\)

 \(\displaystyle \hspace{2em}=0\)


 \(\displaystyle V(Z)=V\left(\frac{1}{\sigma}X-\frac{m}{\sigma}\right)\)

 \(\displaystyle \hspace{2em}=\left(\frac{1}{\sigma}\right)^2V(X)\)

 \(\displaystyle \hspace{2em}=\frac{1}{\sigma^2}\times \sigma^2\)

 \(\displaystyle \hspace{2em}=1\)


よって、変換\(\displaystyle Z=\frac{X-m}{\sigma}\)をすると、

$$E(Z)=0 \ , \ V(Z)=1$$

となることがわかります。


この変換\(\displaystyle Z=\frac{X-m}{\sigma}\)を\(X\)の標準化といいます。

数学B確率分布
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