集合と要素とは?/部分集合・共通部分・和集合について

集合と要素数学Ⅰ
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今回は集合について解説していきます!

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1. 集合と要素

集合と要素とは?

そもそも数学で言う “集合” とは何なのでしょうか?


数学では、 “集合” を次のように定義します。


集合と要素

範囲がはっきりとした集まりのことを集合といい、

集合に含まれているもの1つ1つを要素という。

集合\(A\)が\(a\)を要素に含むとき、

\(a\in{A}\) または \(A\ni{a}\)

と表します。

要素はげんとも言うよ!


”範囲がはっきりとした” ってどういうこと?

ってなりますよね。


”範囲がはっきりとしている” とは、人によって判断が異なることがないことを意味します。

例えば、次の例は集合とは言えません。


おいしい食べ物の集まり


なぜ「美味しい食べ物の集まり」が集合と言えないか分かりますか?


そうですね、おいしいというのは人によって判断が異なるので、”範囲がはっきりとしている”という集合の定義に反しているからです。


一方で、次の例は”範囲がはっきりとしている”ので集合と言えます。

5以下の自然数の集まり



「5以下の自然数の集まり」は具体的に書くと、

$$\{1,2,3,4,5\}$$

となります。


これは人によって判断が異なるということがないですね。

例えば、人によっては「6も5以下の自然数になる!」みたいことはないですよね。

(いたとしたら、それはただ単に「以下」の意味が理解できていないだけです(笑))


このとき、1,2,3,4,5がそれぞれ集合「5以下の自然数の集まり」の要素になります。


よって、「5以下の自然数の集まり」を集合\(A\)とすれば、

\(1\in{A}\) や \(2\in{A}\)

のように表します。


集合の表し方

さて、先ほど「5以下の自然数の集まり」は、具体的に書くと、

$$\{1,2,3,4,5\}$$

となると書きました。


このように、集合を表すときは要素を中かっこ\(\{\hspace{1em}\}\)の中に書きます。


よって、集合\(A\)は

$$A=\{1,2,3,4,5\}$$

と表します。


また、集合を表すときは、上のように具体的に要素を書くほかに、文字を使って表すこともあります。


集合\(A\)の要素が\(x\)だとすると、\(x\)は次の条件を満たしますね。

  • \(x\leq 5\)
  • \(x\)は自然数

このとき、集合\(A\)を、

\(A=\{x \ | \ x\leq 5, x\)は自然数\(\}\)

のように表します。


中かっこ\(\{\hspace{1em}\}\)の縦棒 \(|\) の左には適当な文字を書き、

縦棒 \(|\) の右には、左に書いた文字が満たすべき条件を書きます。


この集合の表し方は難しいと感じるかもしれないので、もう少し具体例を書きましょう。


偶数の集まりを集合\(B\)とします。

偶数とは2の倍数のことなので、

\(2n\) (\(n\)は整数)

という形で表すことができますよね。


よって、「偶数の集まり」の集合\(B\)は、

\(B=\{2n \ | \ n\) は整数 \(\}\)

と表せます。


もちろん、

\(B=\{n \ | \ n\) は偶数 \(\}\)

でもOKですし、

\(B=\{\cdots\cdots,-4,-2,0,2,4,\cdots\cdots\}\)

のように、要素を具体的に書いてもOKです。


上の例のように、集合の要素の数が多いときは、 \(\cdots\cdots\) を使って途中を省略して表すことがあります。


\(A=\{1,2,3,4,5\}\)のように要素を具体的に書く表し方を外延的記法

\(A=\{x \ | \ x\leq 5, x\)は自然数\(\}\)のような文字を使った表し方を内包的記法

といいます。

この用語を覚える必要はないですが、参考までに。


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2. 部分集合

集合\(A\)と集合\(B\)があるとします。

集合\(A\)の要素がすべて集合\(B\)の要素にもなっているとき、「\(A\)は\(B\)の部分集合である」といいます。


これを小難しく書くと下のような定義になります。

部分集合

\(x\in{A}\)を満たす任意の\(x\)が、\(x\in{B}\)を満たすとき、「\(A\)は\(B\)の部分集合である」といい、\(A\subset{B}\)(または、\(B\supset{A}\))と表す。

数学でいう「任意」とは「すべて」という意味だよ!


「\(A\)は\(B\)の部分集合である」は、

「\(A\)は\(B\)に含まれる」や「\(B\)は\(A\)を含む」ともいいます。


例えば、集合\(A,B\)が、

$$A=\{2,3\}\ , \ B=\{1,2,3,4,5\}$$

とします。


このとき、\(A\)の要素2,3はどちらも\(B\)の要素にもなっているので、\(A\)は\(B\)の部分集合\(A\subset{B}\)であると言えます。


さらに、\(A\)と\(B\)の要素が一致しているとき、集合\(A\)と\(B\)は等しいといい、数のときと同様にイコールで \(A=B\) と表します。

\(A=B\)とは、「\(A\subset{B}\)かつ\(A\supset{B}\)を満たす」とも言えます。


3. 共通部分と和集合

共通部分

まずは共通部分から説明します。


集合\(A,B\)を次のように定めます。

$$A=\{1,4,5,8\} \ , \ B=\{1,2,3,4,5\}$$


このとき、\(A\)と\(B\)の両方の要素になっているのは、

1,4,5

の3つです。


この3つを\(A\)と\(B\)の共通部分といい、\(A\cap{B}\)と表します。


つまり、

$$A\cap{B}=\{1,4,5\}$$

となります。



共通部分

\(A\)と\(B\)の両方に含まれる要素全体の集合を、\(A\)と\(B\)の共通部分といい、\(A\cap{B}\)で表す。


和集合

集合

$$A=\{1,4,5,8\} \ , \ B=\{1,2,3,4,5\}$$

に対して、\(A\)か\(B\)の少なくともどちらか一方に含まれている要素は、

1,2,3,4,5,8

です。


この6つを\(A\)と\(B\)の和集合といい、\(A\cap{B}\)といいます。

つまり、

$$A\cap{B}=\{1,2,3,4,5,8\}$$

となります。


AとBの和集合

和集合

\(A\)と\(B\)の少なくともどちらか一方に含まれる要素全体の集合を、\(A\)と\(B\)の和集合といい、\(A\cup{B}\)で表す。

数学Ⅰ集合
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