logの積分ってどうやる??log(x+1)のときは??

logxの不定積分のやり方数学Ⅲ
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やたらと高校生を苦しめる数3の積分。

とくにlogの積分はちょっとしたテクニックが必要になってきます。

ですが、一度やり方を覚えてしまえば余裕なのでがんばりましょう!

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1. \(\log{x}\)の不定積分

\(\log{x}\)を積分するときは、「部分積分」を利用します。


部分積分とは次のような公式でしたね。

部分積分法

\(\displaystyle\int{f'(x)g(x)}dx\)\(\displaystyle =f(x)g(x)-\int{f(x)g'(x)}dx\)


部分積分法

でも、部分積分って\(f(x)\)と\(g(x)\)の2つの関数が必要だよね。

\(g(x)=\log(x)\)として、\(f(x)\)は何になるの?


ここがポイントになります。


実は、\(f(x)=x\)とおきます。


すると、\(f'(x)=1\)なので、\(g(x)=\log(x)\)とすれば、

$$\int{f'(x)g(x)}dx=\int{\log{x}}dx$$

とできるわけです。


あとは、部分積分の公式にのっとって計算すれば、\(\log{x}\)の不定積分が求められそうです!


求め方がわかったので、実際に計算してみましょう!


\(f(x)=x\) , \(g(x)=\log{x}\)とすると、

\(f'(x)=1\) , \(\displaystyle g'(x)=\frac{1}{x}\)

であるから、\(\log{x}=f'(x)g(x)\)と表せる。

部分積分法より、

 \(\displaystyle\int{\log{x}}dx=\int{f'(x)g(x)}dx\)

 \(\displaystyle\hspace{2em}=f(x)g(x)-\int{f(x)g'(x)}dx\)

 \(\displaystyle\hspace{2em}=x\cdot\log{x}-\int{x\cdot\frac{1}{x}}dx\)

 \(\displaystyle\hspace{2em}=x\log{x}-\int{1}dx\)

 \(\displaystyle\hspace{2em}=x\log{x}-x+C\) 

(\(C\):積分定数)


部分積分を使うことさえ覚えておけば、\(\log{x}\)の積分も余裕でできます!

ですが、計算に時間がかかってしまうので、\(\log{x}\)の積分は公式として暗記しておくのがおすすめです!


\(\log{x}\)の不定積分

$$\int{\log{x}}dx=x\log{x}-x+C$$

(\(C\):積分定数)


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2. \(\log(x+1)\)の不定積分

では、次に\(\log(x+1)\)の積分について考えてみましょう!


どうせさっきと同じように、\(f(x)=x\)として部分積分するんでしょ〜

では、その方法でやってみましょう!


\(f(x)=x\) , \(g(x)=\log(x+1)\)とおきます。

もちろん、\(f'(x)g(x)=\log(x+1)\)なので、部分積分法より、

 \(\displaystyle\int{\log(x+1)}dx=\int{f'(x)g(x)}dx\)

 \(\displaystyle\hspace{2em}=f(x)g(x)-\int{f(x)g'(x)}dx\)

 \(\displaystyle\hspace{2em}=x\cdot\log(x+1)-\int{x\cdot\frac{1}{(x+1)}}dx\)

 \(\displaystyle\hspace{2em}=x\log(x+1)-\int{\frac{x}{x+1}}dx\)


ここで、右辺の第2項で、\(\displaystyle\int{\frac{x}{x+1}}dx\)がでてきます。

\(\displaystyle\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}\)とすれば積分できないこともないですが、ちょっとめんどうですよね。


もっとスマートに解く方法はないのでしょうか?



もちろんあります!!


その方法は、\(f(x)=x\)ではなく、\(f(x)=x+1\)とおきます。


\(f(x)=x+1\)のときも、\(f'(x)=1\)ですよね。


なので、今までと同様に\(g(x)=\log(x+1\)とすると、\(\log(x)=f'(x)g(x)\)と表せます。


\(f(x)=x+1\)とおくと何が嬉しいのかというと、

$$f(x)g'(x)=(x+1)\cdot\frac{1}{x+1}=1$$

になります。


なので、積分計算が楽になるのです。


では実際に計算してみましょう!


\(f(x)=x+1\) , \(g(x)=\log(x+1))とすると、

\(f'(x)=1\) , \(\displaystyle g'(x)=\frac{1}{x+1}\)

であるから、\(\log{x}=f'(x)g(x)\)と表せる。

部分積分法より、

 \(\displaystyle\int{\log{x}}dx=\int{f'(x)g(x)}dx\)

 \(\displaystyle\hspace{2em}=f(x)g(x)-\int{f(x)g'(x)}dx\)

 \(\displaystyle\hspace{2em}=(x+1)\log(x+1)-\int{1}dx\)

 \(\displaystyle\hspace{2em}=(x+1)\log(x+1)-x+C\) 

(\(C\):積分定数)


もちろん、\(\log(x+2)\)の積分をしたいときは\(f(x)=x+2\)とおけば同じように計算できます!



ちなみに、

$$\int{\log{x}}dx=x\log{x}-x+C$$

の\(x\)を\(x+1\)に変数変換すれば、

\(\displaystyle\int{\log(x+1)}dx\)\(=(x+1)\log(x+1)-x-1+C\)

となります。


あれ、でもさっきは、

\(\int\log(x+1)dx\)\(=(x+1)\log(x+1)-x+C\)

だったよね?

と思いますよね。


なぜ答えが違っているのでしょうか?

それは、積分定数\(C\)のせいです。


いま、\(\int\log(x+1)dx\)が、

 (1)  \((x+1)\log(x+1)-x+C\)

 (2)  \((x+1)\log(x+1)-x-1+C\)

の2つのパターンが出てきました。


ですが、(1)と(2)の\(C\)は微分して0にさえなってくれればどんな数でもいいのです。


つまり、\(-1+C\)も微分したら0になるので、(2)の式の\(-1+C\)を\(C\)に変えてもOKです。

なので、(1)と(2)のどっちのパターンも正しいことがわかります。


同じ理屈で、\((x+1)\log(x+1)-x+100+C\)なども\(\log(x+1)\)の不定積分として間違いではありません。

ですが、基本的には定数は一つにまとめて\(C\)で表します。

なので、\(\int{\log(x+1)}dx\)\(=(x+1)\log(x+1)-x+C\)と答えるのが最善です。

数学Ⅲ積分法(数Ⅲ)
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