【裏ワザもあるよ!】置換積分の解き方やコツをわかりやすく解説!!

置換積分の解き方とコツ数学Ⅲ

みなさん、こんにちは!

この記事では数学Ⅲで習う「置換積分」について解説しています。


第1章では、置換積分の解き方をとーーっても詳しく解説しています。

第2章では、置換積分を使うタイミングやどのように置き換えればいいのかについて説明しています。

第3章では、置換積分を早く解く「裏ワザ」を紹介しています。


自分の興味のある節だけでもいいのでご覧いただければ幸いです!

こんな人に向けて書いてます!

  • 置換積分が苦手な人
  • 置換積分をはやく解けるようになりたい人
  • 置換積分の裏ワザを知りたい人

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1. 置換積分ってどうやるの?

積分をするときに、文字を置き換えることによって計算が楽になることがあります。

このように、文字を置き換えて積分することを「置換積分」といいます。


次の例題を扱いながら、置換積分の方法を学んでみましょう!


例題1

次の定積分を求めなさい。

$$\int{\frac{(\log{x})^2}{x}}dx$$


 例題1の解説 

さて、まずは不定積分のときを考えましょう。

\(\displaystyle \int{\frac{(\log{x})^2}{x}}dx\)を積分したいのですが、このままではうまく積分できそうにありません。


そこで、\(\log{x}=t\)と置換してみましょう。


すると分母の\(x\)は、\(x=e^t\)と表せます。

\(\log{x}=t \Leftrightarrow x=e^t\)だったね!

怪しいひとは、数Ⅱの指数対数関数を復習だ!


よって、\(\displaystyle \int{\frac{(\log{x})^2}{x}}dx\)は\(\displaystyle \int{\frac{t^2}{e^t}}dx\)に変形できました。


ですが、まだ\(dx\)が残っています。

積分するためには、この\(dx\)も\(dt\)に変換する必要があります。


どうやって、\(dx\)を\(dt\)に変換するのかというと、\(\log{x}=t\)の両辺を微分します。


左辺の\(\log{x}\)を\(x\)で微分すると、\(\displaystyle \frac{1}{x}\)ですね。

右辺の\(t\)は\(t\)で微分すると、\(1\)になります。


そしたら、

\(x\)で微分した方には\(dx\)
\(t\)で微分した方には\(dt\)

をつけましょう。


すると、

$$\frac{1}{x}dx=1\cdot dt$$

となるので、

$$dx=xdt=e^tdt$$

となります。

\(x=e^t\)だったね!

dxとdtの関係式

これで、\(dx\)も\(dt\)に置き換えることができますね!

  \(\displaystyle \int{\frac{(\log{x})^2}{x}}dx=\int{\frac{t^2}{e^t}}dx\)

  \(\displaystyle \hspace{5em}=\int{\frac{t^2}{e^t}}e^tdt\)

  \(\displaystyle \hspace{5em}=\int{t^2}dt\)

となります。


あとは普通に積分すれば、

\(\displaystyle \int{t^2}dt=\frac{1}{3}t^3+C\)

となりますね!


最後に\(t\)を\(x\)に戻すことを忘れずに!

\(t=\log{x}\)だったので、

\(\displaystyle \frac{1}{3}t^3+C=\frac{1}{3}(\log{x})^3+C\)

となります!


よって、答えは、

$$\int{\frac{(\log{x})^2}{x}}dx=\frac{1}{3}(\log{x})^3+C$$

(\(C\)は積分定数)

となります。

(例題1終わり)



なんで\(\log{x}=t\)と置くとうまくいくってわかるの?

という疑問があると思いますが、それについては第2章で解説しています。



ちなみに、今回は不定積分でしたが、定積分のときは積分区間も置換に合わせて変更する必要があります。


たとえば、\(\displaystyle \int_1^2{\frac{(\log{x})^2}{x}}dx\)のときは、積分区間は\(x=1\)から\(x=2\)ですが、これも\(t\)に合わせてあげましょう。


\(t=\log{x}\)だったので、

  \(x=1\)のとき、\(t=\log{1}=0\)
  \(x=2\)のとき、\(t=\log{2}\)

ですね!


なので、

\(\displaystyle \int_1^2{\frac{(\log{x})^2}{x}}dx=\int_0^{\log{2}}{t^2}dt\)

\(\displaystyle \hspace{6em}=\left[\frac{1}{3}t^3\right]_0^{\log{2}}\)

\(\displaystyle \hspace{6em}=\frac{1}{3}(\log{2})^3\)

となります。


置換積分するときは、

  1. (\(x\)の式)\(=t\)とおく。
  2. 両辺を微分して、\(dx\)と\(dt\)の関係式を得る
  3. (定積分のとき)積分区間を\(x\)から\(t\)に変更する
  4. あとは積分する!
  5. (不定積分のとき)\(t\)を\(x\)に戻す

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2. 置換積分のタイミングと置き換えのコツ

第1章の例題1では、\(\displaystyle \int{\frac{(\log{x})^2}{x}}dx\)を\(\log{x}=t\)と置換することで解きました。


では、なぜ\(\log{x}=t\)と置くという発想が思いつくのでしょうか。

この章では、置換積分をいつ使うのか、そしてどのように置換すると良いのかを解説していきます。


置換積分を行うシチュエーションは主に次の3つです。

被積分関数が、

  • 一部を\(f(x)\)とすると、他の一部が\(f'(x)\)で表されるとき
  • (\(x\)の式)と√(\(x\)の式)の積になっているとき
  • \(\displaystyle \sqrt{a^2-x^2}\)または\(\displaystyle \frac{1}{x^2+a^2}\)のとき

(被積分関数とは、積分される関数、つまりインテグラルの中に入っている関数のことです。)


どういうことや・・・。

それぞれ具体的に確認していこう!


一部を\(f(x)\)とすると、他の一部が\(f'(x)\)で表されるとき

文字で書くとややこしいですが、実は単純な話です。


第1章の例題1では、\(\displaystyle \int{\frac{(\log{x})^2}{x}}dx\)の積分を扱いました。


ここで、\(f(x)=\log{x}\)とすると、\(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x}\)とできるので、

$$\int{\frac{(\log{x})^2}{x}}dx=\int{\{f(x)\}^2f'(x)}dx$$

と表せますね。


これが、「一部を\(f(x)\)とすると、他の一部が\(f'(x)\)で表されるとき」という意味です。

そして、このときは\(f(x)=t\)とおけばうまくいくことが多いです。



実際、例題1でも\(\log{x}=t\)と置いていましたね。


せっかくなので、このパターンの例題をもう1問載せておきましょう。

例題2

次の不定積分を求めなさい。

$$\int{xe^{x^2}}dx$$


 例題2の解説 

さて、次はどれを\(f(x)\)とおけばよいでしょうか?

まずは自分で考えてみましょう!


わかりましたか?



ここでは\(f(x)=x^2\)とするとよさそうですね!

すると、\(f'(x)=2x\)となるので、

$$\int{xe^{x^2}}dx=\int{\frac{1}{2}f'(x)e^{f(x)}}dx$$

となり、\(x\)が\(f'(x)\)で表せますね。



そしたら、\(t=f(x)=x^2\)とおきましょう。


両辺を微分すると、\(dt=2xdx\)より、\(\displaystyle dx=\frac{1}{2x}dt\)となります。


よって、

 \(\displaystyle \int{xe^{x^2}}dx=\int{xe^t}\frac{1}{2x}dt\)

 \(\displaystyle \hspace{4em}=\frac{1}{2}\int{e^t}dt\)

 \(\displaystyle \hspace{4em}=\frac{1}{2}{e^t}+C\)

 \(\displaystyle \hspace{4em}=\frac{1}{2}{e^{x^2}}+C\)

となります。(\(C\)は積分定数)

(例題2終わり)


一部を\(f(x)\)とすると、他の一部が\(f'(x)\)で表されるときは、

$$t=f(x)$$

と置いて積分すべし!


(\(x\)の式)と√(\(x\)の式)の積になっているとき

このパターンはイメージがつきやすいと思います。

例えば、次の例題3などがこのパターンになるでしょう。

例題3

次の不定積分を求めなさい。

$$\int{x\sqrt{x+1}}dx$$


 例題3の解説 

(\(x\)の式)と√(\(x\)の式)の積になっていますね。

このときは√の中を\(t\)と置くとうまくいきます。

今回なら、\(\int{x\sqrt{x+1}}dx\)なので、\(t=x+1\)としましょう。

(\(t=\sqrt{x+1}\)と置いてもうまくいきます。)


すると、\(x=t-1\)となり、\(dx=dt\)となりますね。

よって、

 \(\int{x\sqrt{x+1}}dx=\int{(t-1)\sqrt{t}dt}\)

 \(\displaystyle\hspace{3em}=\int{(t\sqrt{t}-\sqrt{t})}dt\)

 \(\displaystyle\hspace{3em}=\frac{2}{5}t^2\sqrt{t}-\frac{2}{3}t\sqrt{t}+C\)

 \(\displaystyle\hspace{3em}=\frac{2}{15}t\sqrt{t}(3t-5)+C\)

 \(\displaystyle\hspace{3em}=\frac{2}{15}(3x-2)(x+1)\sqrt{x+1}+C\)

となります。(\(C\)は積分定数)

(例題3終わり)


(\(x\)の式)と√(\(x\)の式)の積になっているときは、

√の中を\(t\)と置いて積分すべし!


\(\sqrt{a^2-x^2}\)または\(\frac{1}{x^2+a^2}\)のとき

この2つは解き方が決まっているので覚えましょう!

\(\displaystyle \sqrt{a^2-x^2}\)のときは、\(x=a\sin{\theta}\)、

\(\displaystyle \frac{1}{x^2+a^2}\)のときは、\(x=a\tan{\theta}\)と置く!


置換さえすれば、解き方は今までと同じなので詳細は省略します。


3. 置換積分の「裏ワザ」

第1章と第2章で置換積分のやり方は理解していただけたと思います。


ですが、置換積分って時間がかかるし、手順も多くて面倒ですよね。

そこで、置換積分には計算を楽にする「裏ワザ」があります。


裏ワザが使えるのは、第2章の「一部を\(f(x)\)とすると、他の一部が\(f'(x)\)で表されるとき」です。


そこで、もう一度例題2と同じく、

$$\int{xe^{x^2}}dx$$

を考えましょう。


\(\displaystyle \int{xe^{x^2}}dx\)は、\(\displaystyle \int\frac{1}{2}{(x^2)’e^{x^2}}dx\)とみれるので、\(x^2=t\)と置くとよいということを第2章で解説しましたね。

(\((x^2)’\)は\(x^2\)を微分するという意味です。)


ここで、少し工夫をします。

\(y\)を\(x\)で微分するときは、\(\displaystyle \frac{dy}{dx}\)と表しますね。

それと同じように、\((x^2)’\)は\(\displaystyle \frac{dx^2}{dx}\)と表せます。


よって、\(\displaystyle \int{xe^{x^2}}dx\)\(\displaystyle=\int\frac{1}{2}\frac{dx^2}{dx}e^{x^2}dx\)となり、\(dx\)が約分できます。

(約分というと語弊がありますが、ここではわかりやすように約分という言葉を用います。)


すると、

\(\displaystyle \int{xe^{x^2}}dx\)

\(\displaystyle\hspace{1em}=\int\frac{1}{2}\frac{dx^2}{dx}e^{x^2}dx\)

\(\displaystyle\hspace{1em}=\frac{1}{2}\int e^{x^2}dx^2\)

となります。


ここで、\(x^2=t\)としてみると、

\(\displaystyle\frac{1}{2}\int e^{x^2}dx^2\)

\(\displaystyle\hspace{1em}=\frac{1}{2}\int e^tdt\)

\(\displaystyle\hspace{1em}=\frac{1}{2}e^t+C\)

\(\displaystyle\hspace{1em}=\frac{1}{2}e^{x^2}+C\)

となり、答えを求めることができました。


このことから一般に、ある多項式\(f(x)\)の微分形\(f'(x)\)がかけられているときは、\(f(x)\)を一つの文字(例えば\(t\))と見ることで簡単に積分できます。



う〜ん、よくわかんない。

では、例題で具体的に確認してみましょう!


例題4

次の不定積分を求めなさい。

$$\int{\sin^2{x}\cos{x}}dx$$


 例題4の解説 

今回の問題は、\(\cos{x}=(\sin{x})’\)なので、

$$\int{\sin^2{x}(\sin{x})’}dx$$

とできます。


そしたら、\(\sin{x}\)を一つの文字として積分できるので、

\(\displaystyle \int{\sin^2{x}\cos{x}}dx\)

\(\displaystyle \hspace{1em}=\int{\sin^2{x}(\sin{x})’}dx\)

\(\displaystyle \hspace{1em}=\frac{1}{3}\sin^3{x}+C\)

となります。(\(C\)は積分定数)


(例題4終わり)



これで終わりです!簡単ですよね!


もし、まだ理解できないようでしたら、次のように考えてみましょう。

\(\displaystyle \int{\sin^2{x}\cos{x}}dx\)

\(\displaystyle \hspace{1em}=\int{\sin^2{x}(\sin{x})’}dx\)

\(\displaystyle \hspace{1em}=\int{\sin^2{x}\frac{d(\sin{x})}{dx}}dx\)

\(\displaystyle \hspace{1em}=\int{\sin^2{x}}d(\sin{x})\)

\(\displaystyle \hspace{1em}=\int{t^2}dt\)

\(x^2=t\)としてるよ!

\(\displaystyle \hspace{1em}=\frac{1}{3}t^3+C\)

\(\displaystyle \hspace{1em}=\frac{1}{3}\sin^3{x}+C\)


ただし、\(dx\)で約分したりするのは数学的にはちょっと不正確な部分もあります。

また、\(\sin{x}=t\)と置いたりすると結局時間がかかって、普通に置換積分するときとあまり変わらなくなってしまいます。


なので、なるべく最初に書いたように、

\(\displaystyle \int{\sin^2{x}\cos{x}}dx\)

\(\displaystyle \hspace{1em}=\int{\sin^2{x}(\sin{x})’}dx\)

\(\displaystyle \hspace{1em}=\frac{1}{3}\sin^3{x}+C\)

と3行くらいで解けるようにしましょう!




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