【じゃんけんの確率問題】考え方を徹底解説!!あいこになるときは?じゃんけんが2回のときは?全部解説します!!

じゃんけんの確率の求め方場合の数と確率

今回はじゃんけんの確率の求め方を詳しく解説しています。

「じゃんけんの確率を求めるのが苦手」

「あいこの確率の求め方がわからない」

という人は必見です!!


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1. じゃんけんの確率の求め方

考え方

じゃんけんの確率を考えるポイントは、

「誰が」 「どうやって」 勝つか

です。


この2つを考えれば、確率は簡単に求めることができます!!


例題

例題1

3人でじゃんけんをするとき、次の確率を求めなさい。

(1) 1人が勝つ確率

(2) 2人が勝つ確率


 例題1の解説 

さて、先程も述べたように、じゃんけんの確率を求めるポイントは、

「誰が」 「どうやって」 勝つか

です。


まず、(1) 1人が勝つ確率 から考えます。


「誰が」勝つかは、3人から1人を選べばいいので、

\({}_3C_1=3\) (通り)

になります。


「どうやって」勝つかは、

「グーで勝つ」・「チョキで勝つ」・「パーで勝つ」

3通りになります。



よって、全部合わせて

\(3\times3=9\)(通り)

になります。



また、手の出し方は全部で\(3^3=27\)通りになります。

3人それぞれにグー・チョキ・パーの3通りがあるので\(3^3\)通りだね!


よって、求める確率は、

$$\frac{9}{27}=\frac{1}{3}$$

となります!


3人のうち、1人が勝つ確率




(2)についても考え方は同じです。


「誰が」勝つかは、3人から2人を選ぶので、

\({}_3C_2=3\) (通り)


「どのように」勝つかは、

「グーで勝つ」・「チョキで勝つ」・「パーで勝つ」

3通り


よって、(2)の確率は、

$$\frac{3\times 3}{27}=\frac{1}{3}$$

となります!


3人のうち、2人が勝つ確率

(例題1終わり)




4人以上になっても考え方は

「誰が」 「どのように」 勝つか

だけです!


次の例題を考えてみましょう!


例題2

次の確率を求めよ。

(1) 4人がじゃんけんして2人が勝つ確率

(2) \(n\)人がじゃんけんして1人が勝つ確率


 例題2の解説 

ポイントは

「誰が」 「どのように」 勝つか

でしたね!



(1)から考えましょう。


「誰が」勝つかは、4人から2人を選ぶので、

\({}_4C_{2}=6\)(通り)

になり、「どのように」勝つかは、

「グーで勝つ」・「チョキで勝つ」・「パーで勝つ」

3通りですね。

人数が増えても、「どのように」勝つかはいつも3通りだね!


また、手の出し方の総数は、\(3^4\) 通りになります。


よって、(1)の確率は、

$$\frac{6\times 3}{3^4}=\frac{2}{9}$$

になります!


4人のうち、2人が勝つ確率



(2)は、文字\(n\)が入っていますが、考え方は同じです。


「誰が」勝つかは、\(n\)人から1人を選ぶので、

\({}_nC_{1}=n\)(通り)

になり、

「どのように」勝つかは、(1) と同様に3通りです。



手の出し方の総数は、

\(3^n\)(通り)

なので、(2)の確率は、

$$\frac{n\times 3}{3^n}=\frac{n}{3^{n-1}}$$

となります!


n人のうち、1人が勝つ確率

(例題2終わり)



じゃんけんの確率は

「誰が」 「どのように」 勝つか

を考える!

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2. あいこのときは?

考え方

次はあいこのときを考えましょう!


結論から言うと、あいこのときは余事象を使います。



例えば、3人でじゃんけんをしたとき、結果は次の3つのどれかに必ずなります。

  • 1人が勝つ
  • 2人が勝つ
  • あいこになる


よって、

(あいこの確率) = 1 – (1人が勝つ) + (2人が勝つ)

が成り立ちます。


例題1の結果を用いると、3人でじゃんけんをしてあいこになる確率は、

$$1-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$$

になります。


例題

では、次の例題を解いてみましょう。


例題3

4人でじゃんけんをしたとき、あいこになる確率を求めよ。


 例題3の解説 

あいこの確率を求めるときのポイントは「余事象でしたね。


4人でじゃんけんをしたとき、結果は

  • 1人が勝つ
  • 2人が勝つ
  • 3人が勝つ
  • あいこになる

のどれかになります。


ということは、

(あいこの確率) = 1 – (1人が勝つ) + (2人が勝つ) + (3人が勝つ)

で求めることができます。


1人が勝つ、2人が勝つ、3人が勝つの確率は第1章で紹介した通りです。


1人が勝つ確率 :

$$\frac{{}_4C_1\times 3}{3^4}=\frac{4}{3^3}$$


2人が勝つ確率 :

$$\frac{{}_4C_2\times 3}{3^4}=\frac{6}{3^3}$$


3人が勝つ確率 :

$$\frac{{}_4C_3\times 3}{3^4}=\frac{4}{3^3}$$


以上より、あいこになる確率は、

$$1-\frac{4}{3^3}-\frac{6}{3^3}-\frac{4}{3^3}=\frac{13}{27}$$

となります!

(例題3終わり)



別の考え方

例題3は余事象を使わなくても求めることができます。


あいこになるときは、次の2パターンのどちらかです。

  • 全員が同じ手を出す
  • グー・チョキ・パーが出揃う


「全員が同じ手を出す」は、

「全員がグー」「全員がチョキ」「全員がパー」

の3通りですね。


全員が同じ手を出す



一方、「グー・チョキ・パーが出揃う」は、

  • グー2人、チョキ1人、パー1人
  • グー1人、チョキ2人、パー1人
  • グー1人、チョキ1人、パー2人

の3パターンにさらに分けることができます。

どれかが0人にだったら、「出揃った」と言えないもんね!


例えば、「グー2人、チョキ1人、パー1人」のときの場合の数は、

\({}_4C_2\times {}_2C_1\times {}_1C_1=12\)(通り)

になります。


グー・チョキ・パーが出揃う

\({}_1C_1\)は\(1\)だから、書かなくても大丈夫だよ!


「グー1人、チョキ2人、パー1人」、「グー1人、チョキ1人、パー2人」のときも同じくそれぞれ12通りです。


ということで、「グー・チョキ・パーが出揃う」のは

\(12\times 3=36\)(通り)

です。


よって確率は、

$$\frac{3+12\times 3}{3^4}=\frac{39}{3^4}=\frac{13}{27}$$

となり、例題3の解答と一致していることがわかります。



このように、余事象を使わなくても、あいこになる確率を直接求めることができます。


ですが、人数が増えてくると、「グー・チョキ・パーが出揃う」パターンが増えます。


なので、余事象を使った方が比較的簡単でおすすめです。


あいこのときは余事象から求める!


3. じゃんけんが2回のときは?

最後にちょっと難易度が高い問題にチャレンジしてみます。

例題4

3人でじゃんけんをする。

負けた人から抜けていき、最後まで残った一人を優勝とするとき、2回目で優勝が決まる確率を求めよ。


 例題4の解説 

このタイプの問題はうまく場合分けをすることが大切です。


2回目で優勝が決まるということは、

  • (3人)→(2人)→(1人)
  • (3人)→(3人)→(1人)

のどちらかになります。


(3人)→(2人)→(1人)のとき :

1回目のじゃんけんでは、3人のうち2人が勝つので、確率は、

$$\frac{{}_3C_2\times 3}{3^3}=\frac{1}{3}$$


2回目のじゃんけんでは、2人のうち1人が勝つので、確率は、

$$\frac{{}_2C_1\times 3}{3^2}=\frac{2}{3}$$


よって、(3人)→(2人)→(1人)の確率は、

$$\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{2}{9}$$

です。


(3人)→(3人)→(1人)のとき :

1回目のじゃんけんではあいこなので、確率は、

$$1-\frac{{}_3C_1\times 3}{3}-\frac{{}_3C_2\times 3}{3}=\frac{1}{3}$$

3人であいこになる確率は、第2章の最初の方で解説したよ!

2回目のじゃんけんでは、3人のうち1人が勝つので、

$$\frac{{}_3C_1\times 3}{3^3}=\frac{1}{3}$$


よって、(3人)→(3人)→(1人)の確率は、

$$\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$$

です。



以上より、2回目で優勝者が決まる確率は、

$$\frac{2}{9}+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}$$

となります!

(例題4終わり)



じゃんけんの回数が増えても、場合分けさえしっかりできれば、あとは今まで通りの考え方で解くことができることがわかると思います。



もし「4人でじゃんけんをして、2回目で優勝が決まる」ときなら、どのように場合分けすればよいでしょうか?


考えてみましょう。




わかりましたか?


次の3つに場合分けすれば良いですよね?

  • (4人)→(4人)→(1人)
  • (4人)→(3人)→(1人)
  • (4人)→(2人)→(1人)



場合分けしたら、あとは第1章・第2章でやったことと同じことをすれば良いだけです。


練習という意味で、このパターンの確率も自力で解いてみてるといいでしょう。


\(\displaystyle \frac{196}{729}\)になれば正解です。


場合の数と確率数学A
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