【関数の連続性】とは何か?見落としがちなポイントや例題を解説!

関数が連続とは?数学Ⅲ
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今回は、「関数が連続である」ということについて解説します!


第1章では、連続の意味と、注意すべきポイントについてまとめました。

第2章では、連続性を調べる例題と、その解き方を解説しています。

第3章では、連続関数の性質について紹介します。


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1. 連続の定義

連続の定義

関数には「連続」という概念があります。

直感的に説明すると、

  • グラフが繋がっていれば連続
  • グラフが途切れていれば不連続

となります。




しかし、グラフは必ずしも正確とは限りませんし、そもそもグラフが描けないような関数もたくさんあります。


そのため、「連続であること」をもっと正確に定義しましょう。


連続

・関数 \(f(x)\) が \(x=a\) で連続とは、

$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$

が成り立つことである。


・関数 \(f(x)\) が 区間 \(I\) の全ての点 \(x=a\) で \(f(x)\) が連続なら、\(f(x)\) は区間 \(I\) で連続という。

「\(x\)を\(a\)に近づけたときの値」と、

「\(x=a\)を直接代入したときの値」が同じということだね!


例えば、関数 \(f(x)=x\) は

$$\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}x=0$$

$$f(0)=0$$

であることはすぐにわかります。


よって、

$$\lim_{x\to 0}f(x)=f(0)$$

が成り立つので、\(f(x)=x\) は \(x=0\) で連続と言えます!


グラフ書けば当たり前じゃん…

それ言っちゃダメ!!


「連続」の注意点!

先程の連続の定義には、見落とされがちなポイントがあります。


それは、そもそも

\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)\) が存在するのか?

ということです。


存在しないことなんてあるの!?!?


例えば、\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\) は存在しませんよね??


存在しない理由をちゃんと説明できますか??


できません!!

という方のために、説明しておきます。



極限 \(x \to a\) とは、\(x\) をある値 \(a\) に近づける操作のことでした。


しかし、\(a\) に近づける方法は2つあります。


それは、\(x\) 軸の左から近づけるか、右から近づけるかということです。



\(f(x)\) を \(x=a\) に左から近づけるときは「左側極限」といい、\(\displaystyle \lim_{x\to a-0}f(x)\) で表し、

\(f(x)\) を \(x=a\) に右から近づけるときは「右側極限」といい、\(\displaystyle \lim_{x\to a+0}f(x)\) で表します。


そして、この2つの極限値が一致するときに、初めて「 \(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)\) が存在する」と言います。



ここまでを踏まえれば、\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\) が存在しないことも説明できますよね?


左側極限は、

$$\lim_{x\to -0}\frac{1}{x}=-\infty$$

右側極限は、

$$\lim_{x\to +0}\frac{1}{x}=+\infty$$

となり、左側極限 \(\displaystyle \lim_{x\to -0}\frac{1}{x}\) と右側極限 \(\displaystyle \lim_{x\to +0}\frac{1}{x}\) が一致しないからですね!




このように、そもそも \(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)\) が存在しないときは、\(f(x)\) は \(x=a\) で連続ではありません。



まとめると、\(f(x)\) が \(x=a\) で連続かどうかは、次の2つを調べればOKです!


  1. \(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)\) が存在する \(\displaystyle \left( \lim_{x\to a-0}f(x)=\lim_{x\to a+0}f(x) \right)\)
  2. \(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)\) が成り立つ

このとき、\(f(x)\) は \(x=a\) で連続である!


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2. 例題で確認!

例題 1

例題1

次の関数 \(f(x)\) は \(x=0\) で連続かどうか調べよ。

\(f(x) =\left\{ \begin{align}
& x\sin{\frac{1}{x}} && (x\neq 0) \\
& 0 && (x=0)
\end{align} \right.\)


 例題1の解説 

\(x=0\) で連続であることを確かめるには、

  • \(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)\) が存在する
  • \(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)\) が成り立つ

の2つを調べれば良いのでした。


\(f(0)=0\) なので、\(\displaystyle \lim_{x\to 0}x\sin{\frac{1}{x}}=0\) になっていれば連続と言えそうです。



ここで次のようなポイントを覚えておきましょう。


\(\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = p\) であるとは、

$$\lim_{x\to a}|f(x)-p|=0$$

が成り立つことと同じである。


つまり、今回の問題では、

$$\lim_{x\to 0}|f(x)-0| = \lim_{x\to 0} \left| x\sin{\frac{1}{x}} \right| =0 \tag{*}$$

を示せば良いということです。


ちなみに、上の (*) を示せば、

\(\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)\) が存在する

ということも示たことになります。



絶対値の性質から、掛け算は分解することができたので、

$$\left| x\sin{\frac{1}{x}} \right| = |x|\left| \sin{\frac{1}{x}} \right|$$

が成り立ちます。


sin は -1 から 1 の値を取るので、

$$|x|\left| \sin{\frac{1}{x}} \right| \le |x|\cdot 1=|x|$$

となります。


つまり、

$$0\le \left| x\sin{\frac{1}{x}} \right|\le|x|$$

が成り立ちます。


当然、\(\displaystyle \lim_{x\to 0}|x|=0\) なので、はさみうちの原理から、

$$\displaystyle\lim_{x\to 0} \left| x\sin{\frac{1}{x}} \right|=0$$

となります。


よって 先ほど紹介したポイントから、

$$\lim_{x\to 0}f(x)=0$$

が成り立つので、

$$\lim_{x\to 0}f(x)=f(0)$$

となるので、\(f(x)\) は \(x=0\) で連続となります!

(例題1終わり)



例題

例題2

次の関数 \(f(x)\) は \(x=0\) で連続かどうか調べよ。

$$f(x)=[x]$$

ただし、\([x]\) は \(x\) を超えない最大の整数である。

たとえば、\([3.1]=3\) , \([2]=2\) , \([-1.7]=-2\) だよ!

\([-1.7]=-1\) だと、\(-1.7\) より \(-1\) の方が大きくなっちゃうんだね!


 例題1の解説 

何度も繰り返しますが、

\(x=0\) で連続であることを確かめるには、

  • \(\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)\) が存在する
  • \(\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=f(0)\) が成り立つ

の2つを調べれば良いのでした。


まず、\(\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}[x]\) が存在するかどうかを調べましょう!

つまり、

$$\lim_{x\to +0}[x]=\lim_{x\to -0}[x]$$

が成り立つかどうかを確認しましょう!


グラフを書いてみれば、左側極限と右側極限の値はすぐにわかると思います。


ガウス記号[x]の連続性

$$\lim_{x\to -0}[x]=-1 \ , \ \lim_{x\to +0}[x]=0$$

となるので、左側極限と右側極限が一致しませんね!


ということは、\(\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)\) が存在しないので、\(f(x)=[x]\) は \(x=0\) で連続ではないです!

(例題2終わり)



3. 連続関数に関する定理

連続になる関数

ここまで連続について解説してきましたが、

実は高校までで習う関数(\(n\) 次関数 \((n=1,2,3,\cdots)\)、三角関数、指数関数、対数関数など)は定義できる範囲内では連続になります

定義できる範囲内とは、例えば、

\(\sin{x}\)だったら実数全体、

\(\log{x}\)だったら\(x>0\)

とかだね!


逆に、例題2のようなガウス関数や、例題1のように \(x\) の範囲によって式が変わるような関数は、連続になるとは限りません。

絶対に連続にならないというわけではないから、

今回の例題1のように連続になる場合もあるんだね!


連続関数の和・差・積・商

連続関数の和・差・積・商

関数 \(f(x)\) , \(g(x)\) は区間 \(I\) で連続とする。

このとき、

$$f(x)+g(x) \ , \ f(x)-g(x) \ , \ f(x)g(x)$$

も区間 \(I\) で連続である。


また、\(I\) に含まれるすべての \(x\) に対して \(g(x)\neq 0\) のとき、

$$\frac{f(x)}{g(x)}$$

区間 \(I\) で連続である。


例えば、\(x^2 \ , \ \sin{x} \ , \ e^x\) は実数全体で連続なので、

これらの和や積で表すことができる

$$x^2+\sin{x} \ , \ e^x \sin{x}$$

なども実数全体で連続となります。


連続関数の合成関数

連続関数の合成関数

関数 \(f(x) \ , \ g(x)\) がそれぞれ区間 \(I \ , \ J\) で連続とする。

また、区間 \(I\) に含まれるすべての \(x\) に対して、\(f(x)\in J\) とする。

このとき、合成関数 \((g\circ f)(x)=g(f(x))\) は区間 \(J\) で連続となる。


例えば、

\(f(x)=e^x\) は実数全体で連続、

\(g(x)=\log{x}\) は \(x>0\) で連続ですね?


そして、すべての実数 \(x\) に対して、\(f(x)=e^x>0\) になっています。


よって、合成関数 \((g\circ f)(x)\) は \(x>0\) で連続になります!


実際に、

$$(g\circ f)(x)=g(f(x))=\log{e^x}=x$$

なので、\(x\) は \(x>0\) で連続ですよね!

\(x\) は 1次関数だから、実数全体(とくに \(x>0\) でも)連続になるよね!


中間値の定理

中間値の定理

関数 \(f(x)\) は閉区間 \([a,b]\) で連続とし、\(f(a)\neq f(b)\) とする。

このとき、\(f(a)\) と \(f(b)\) の間の全ての数 \(k\) に対して、\(f(c)=k\) となる \(c\) \((a<c<b)\) が存在する。


中間値の定理は説明することが多いので、次のノートで詳しく紹介します!

数学Ⅲ極限
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