実はすごく簡単!?読めば絶対に理解できる「中間値の定理」の使い方!!

中間値の定理とは?数学Ⅲ
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前回は関数の連続性について解説しました。


今回は連続性に関する定理のなかでも重要な「中間値の定理」について解説していきます!


「中間値の定理って何?」「使い方がわからない」といった悩みを抱えている人はぜひご覧ください!


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1. 中間値の定理とは?

中間値の定理のイメージ

はじめに。

「中間値の定理」が苦手な皆さん。ご安心ください。


名前だけ聞くとすごい高等な定理の気がしますが、

実際はごく当たり前のことを「中間値の定理」と呼んでいるだけなので、

大したことありません!(笑)



まずは、具体的な関数について考えてみましょう!



関数 \(f(x)=x^2\) に対して、 \(f(1)=1^2=1\) , \(f(2)=2^2=4\) となります。


例えば、 \(3\) という数を考えたとき、\(3\) は \(f(1)=1\)\(f(2)=4\) の間にあるので、

\(1\) \(2\) の間にある適当な数 \(c\) をとれば、\(f(c)=3\) とできますね!


f(x)=x^2と中間値の定理


実際に、\(f(c)=c^2=3\) となる \(c\) は \(\pm\sqrt{3}\) ですが、

\(\sqrt{3}=1.73\cdots\) なので、ちゃんと \(1\)\(2\) の間にありますね!


これが「中間値の定理」の主張です!

\(2\) も \(f(1)\)\(f(2)\) の間にあるから、同じことが言えるよね!

当たり前やないかい!


中間値の定理(結論)

中間値の定理

関数 \(f(x)\) は閉区間 \([a,b]\) で連続とし、\(f(a)\neq f(b)\) とする。

このとき、\(f(a)\) と \(f(b)\) の間の全ての数 \(k\) に対して、\(f(c)=k\) となる \(c\) \((a<c<b)\) が存在する。


実際の問題では、中間値の定理を \(k=0\) の場合で用いることが多いです。


つまり、\(f(a)<0<f(b)\) となる \(a,b\) を見つければ、\(f(c)=0\) となる \(c\) が \(a\) と \(b\) の間に存在することが言えます。


ポイント:中間値の定理の特殊な場合

関数 \(f(x)\) は閉区間 \([a,b]\) で連続であるとき、

\(f(a)<0\) , \(f(b)>0\) であれば、\(f(c)=0\) となる数 \(c\) が \(a\) と \(b\) の間に存在する。

\(f(a)>0\) , \(f(b)<0\) でもokだね!!


中間値の定理の注意点

なんか、\(f(x)\) は閉区間 \([a,b]\) で連続ってあるけど、

連続じゃないとダメなの?

という疑問を持っている人も多いと思うので、説明しておきます。



まず、中間値の定理は連続でないと使うことができません。


そのため、連続ではない関数や、連続かどうかまだ分からない関数に対して中間値の定理を使った場合、バツになります。


連続かどうかって、どうすれば分かるんだっけ?

という人は、連続について解説したノートがあるので、そちらも読んでみてください!


例えば、ガウス記号 \(f(x)=[x]\) は連続ではない関数でした。(上のノートで解説済み)

\([x]\) は \(x\) を超えない最大の整数だね!

(例. \([1.5]=1 \ , \ [3]=3\))


そのため、中間値の定理は適用できません!


実際に、\(f(0)=[0]=0\) , \(f(1)=[1]=1\) ですが、

\(f(0)=0\)\(f(1)=1\) の間にある数 \(0.5\) に対して、どんな数 \(c\) を選んでも \(f(c)=[c]=0.5\)は成り立ちませんね。

ガウス記号は整数にしかならないもんね!

y=[x]と中間値の定理

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2. 例題で確認!

例題1

例題1

方程式 \(3^x=5x-1\) が区間 \([0,1]\) に少なくとも一つの解を持つことを示せ。


 例題1の解説 

この問題のポイントは、

「解を求めよ」

ではなく、

「解を持つことを示せ」

という問題であるということです。

大抵の場合、「解を持つことを示せ」問題は、中間値の定理で解けるから覚えておこう!



方程式 \(3^x=5x-1\) を見やすいように変形すると、

$$3^x-5x+1=0$$

となります。


\(f(x)=3^x-5x+1\) としましょう。


すると、\(f(c)=0\) となる \(c\) が、上の方程式の解になりますよね?


つまり、\(f(c)=0\) となる \(c\) が、区間 \([0,1]\) の間に存在することを示せばよさそうですね!



第1章で紹介した平均値の定理のポイントを思い出しましょう。


関数 \(f(x)\) は閉区間 \([a,b]\) で連続であるとき、

\(f(a)<0\) , \(f(b)>0\) であれば、\(f(c)=0\) となる数 \(c\) が \(a\) と \(b\) の間に存在する。

上のポイントを見れば、次に何をすれば良いか、もうわかるよね…?


あとは、\(f(0)\) と \(f(1)\) が異符号であることを確認すれば良いですね!!


\(f(x)=3^x-5x+1\) より、

$$f(0)=3^0-5\times 0 +1 =1-0+1=2$$

$$f(1)=3^1-5\times 1 +1 = 3-5+1=-1$$

より、\(f(0)>0\) , \(f(1)<0\) となっていますね!


ということは、中間値の定理より、\([0,1]\) の中に \(f(c)=0\) となる \(c\) が存在します!


ですが、平均値の定理を使うためには、\(f(x)=3^x-5x+1\) が区間 \([0,1]\) で連続でなければいけませんでした。


えー。連続示すのめんどくさいよ〜


と思うかもしれませんが、連続であることはすぐに確認できるので安心してください!


前回のノートの第3章で紹介しましたが、

指数関数 \(3^x\) と、一次関数 \(-5x+1\) はともに実数全体で連続なので、

その和である \(f(x)=3^x-5x+1\) は実数全体でちゃんと連続になっています!

実数全体で連続なら、\([0,1]\) でも連続だね!



これで安心して中間値の定理を使うことができます!


つまり、\([0,1]\) の中に \(f(c)=3^c-5c+1=0\) となる \(c\) が存在します!


式を変形すれば、

$$3^c=5c-1$$

より、\(c\) は方程式 \(3^x=5x-1\) の解になっているので、

方程式 \(3^x=5x-1\) が区間 \([0,1]\) に少なくとも一つの解を持つことを示せました!


f(x)=3^x-5x+1のグラフ
(参考)f(x)=3^x-5x+1 のグラフ

(例題1終わり)



例題2

例題2

方程式 \(x^4-5x+2=0\) は、少なくとも一つの実数解をもつことを示せ。

解き方は例題1と同じだから、まずは自力で頑張ってみよう!


 例題2の解説 

「解を持つことを示せ」と言われたら、まずは中間値の定理を考えましょう。


あれ?でも例題1のときみたいに、区間が与えられてないよ?

と困っている人も多いと思います。


この場合は自分で区間を決める必要があります。


\(f(a)>0\) , \(f(b)<0\) となる \(a,b\) を見つければ、区間 \([a,b]\) に中間値の定理を適用することで証明ができます。


\(a,b\) は何でもいいですが、\(0,1,-1\) あたりが計算が楽なのでおすすめです。


\(f(x)=x^4-5x+2\) とすると、\(f(0)=2>0\) はすぐに出てくるので、

次に \(f(b)<0\) となる\(b\) を適当に探してみましょう。


結論から言うと、\(x=1\) のときに

$$f(1)=1-5+2=-2<0$$

となるので、\(b=2\) とすればよさそうです。



あとは中間値の定理を使うために、\(f(x)=x^4-5x+2\) が 区間 \([0,1]\) で連続であることを確認する必要があります。


四次関数は実数全体で連続なので、\([0,1]\) でももちろん連続です。


よって、中間値の定理より \(f(c)=c^4-5c+2=0\) となる \(c\) \((0\leq c\leq 1)\) が存在するので、

この \(c\) が方程式 \(x^4-5x+2=0\) の実数解となります!


f(x)=x^4-5x+2のグラフ
(参考)f(x)=x^4-5x+2 のグラフ

(例題終わり)


数学Ⅲ極限
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