これさえ覚えればもう悩まない!「チェバの定理」と「メネラウスの定理」をわかりやすく解説!!

チェバの定理とメネラウスの定理図形の性質
Photo by Shunsuke Ono on Unsplash

今回は「チェバの定理」と「メネラウスの定理」について解説しています。

第1章、第2章でそれぞれの定理を解説していますが、

本命は第3章の「チェバの定理とメネラウスの定理の使い分け」です。


「実際の問題になると、チェバやメネラウスをどのように使えばいいのか分からない!」

「どうやってチェバとメネラウスを見分ければいいの?」

といった悩みを抱えている方は、第3章だけでもいいので読んでみてください!


スポンサーリンク

1. チェバの定理

チェバの定理は、

\(\triangle{ABC}\) の頂点 \(A\) , \(B\) , \(C\) と、点 \(O\)

における関係を表したものです。


点 \(O\) は \(\triangle{ABC}\) の内部にある場合と、外部にある場合があります。


どちらの場合でも結論は同じなのですが、内部にあるときの方が考えやすいので、

まずは、点 \(O\) が内部にあるときから扱いましょう。


Oが内部にあるとき

結論


チェバの定理(Oが内部にあるとき)

\(\triangle{ABC}\) の内部に点 \(O\) をとる。

このとき、頂点 \(A\) , \(B\) , \(C\) と 点 \(O\) を結ぶ線分と \(\triangle{ABC}\) の辺の交点を \(P\) , \(Q\) , \(R\) とするとき

$$\frac{AR}{RB}\frac{BP}{PC}\frac{CQ}{QA}=1$$

チェバの定理

覚え方

チェバの定理でポイントとなる式は、

$$\frac{AR}{RB}\frac{BP}{PC}\frac{CQ}{QA}=1$$

になります。


こんな長い式、どうやって覚えればいいの!?

という感じですが、簡単に覚える方法があります。


まず、チェバの定理の式で出てくる点は

  • \(\triangle{ABC}\) の頂点 \(A\) , \(B\) , \(C\)
  • \(\triangle{ABC}\) の内分点 \(P\) , \(Q\) , \(R\)

の6つです。


これらに色をつけると、下のようになります。



規則性が見えてきたでしょうか?


分数を左上から順番に見ると、

AR→RB→BP→PC→CQ→QA

といったように、”しりとり”のように繋がっていることがわかります!


さらに、図と照らし合わせると、

ARBPCQA

と、\(\triangle{ABC}\) の頂点内点を交互に一周していることがわかります!



例題

例題1

次の \(\triangle{ABC}\) において、\(x:y\) を求めよ。


 例題1の解説 

頂点は \(A\) , \(B\) , \(C\) で、内点は \(P\) , \(Q\) , \(R\) です。


チェバの定理の式は、

ARBPCQA

と一周することで導出することができるんでしたね。



よって、

$$\frac{AR}{RB}\frac{BP}{PC}\frac{CQ}{QA}=1$$

に値を代入すると、

$$\frac{x}{y}\cdot\frac{5}{7}\cdot\frac{7}{3}=1$$

となるので、整理すると、

$$\frac{x}{y}=\frac{3}{5}$$

となります。


よって、

$$x:y=3:5$$

となります。

(例題1終わり)



Oが外部にあるとき

チェバの定理は、点 \(O\) が \(\triangle{ABC}\) の外部にあるときにも適用できます。


このとき、\(P\) , \(Q\) , \(R\) は \(\triangle{ABC}\) の辺の延長上になることがありますが、同じように

$$\frac{AR}{RB}\frac{BP}{PC}\frac{CQ}{QA}=1$$

が成り立ちます。


チェバの定理(一般の場合)

\(\triangle{ABC}\) の辺の上になく、頂点とも異なる点 \(O\) をとる。

このとき、頂点 \(A\) , \(B\) , \(C\) と 点 \(O\) を結ぶ線分と \(\triangle{ABC}\) の辺(の延長)の交点を \(P\) , \(Q\) , \(R\) とするとき

$$\frac{AR}{RB}\frac{BP}{PC}\frac{CQ}{QA}=1$$

が成り立つ。



見た目は複雑ですが、

ARBPCQ

と一周するということさえ覚えておけば何とかなります!


スポンサーリンク

2. メネラウスの定理

メネラウスの定理は、

\(\triangle{ABC}\) の頂点 \(A\) , \(B\) , \(C\) と、直線 \(l\)

における関係を表したものです。


結論

メネラウスの定理

\(\triangle{ABC}\) の頂点を通らない直線 \(l\) に対して、

直線 \(l\) と 辺 \(BC\) , \(CA\) , \(AB\) (の延長)の交点を \(P\) , \(Q\) , \(R\) とするとき

$$\frac{AR}{RB}\frac{BP}{PC}\frac{CQ}{QA}=1$$

が成り立つ。

あれ?この式さっきも見た気が…?


覚え方

メネラウスの定理でポイントとなる式は、

$$\frac{AR}{RB}\frac{BP}{PC}\frac{CQ}{QA}=1$$

になります。


ですが、この式はチェバの定理のときと全く同じですね。


ということは、覚え方も当然チェバの定理のときと同じです。


つまり、

  • \(\triangle{ABC}\) の頂点 \(A\) , \(B\) , \(C\)
  • \(\triangle{ABC}\) と直線 \(l\) の交点 \(P\) , \(Q\) , \(R\)
  • ARBPCQA のように頂点交点を交互に通りながら一周します


    そして、それを”しりとり”のように

    AR→RB→BP→PC→CQ→QA

    とくっつけると、

    $$\frac{AR}{RB}\frac{BP}{PC}\frac{CQ}{QA}=1$$

    という式が出てきます。


    直線 \(l\)は、辺 \(BC\) を通らないけど、

    \(BC\) を延長して \(l\) と交わる点を \(P\) とするよ!


    例題

    例題2

    次の \(\triangle{ABC}\) において、\(x:y\) を求めよ。

    ただし、3点 \(P,Q,R\) は一直線上にある。


     例題2の解説 

    頂点は \(A\) , \(B\) , \(C\) で、交点は \(P\) , \(Q\) , \(R\) です。


    メネラウスの定理の式は、チェバの定理と同様に、

    ARBPCQA

    と一周することで導出することができるんでした。



    ここで注意すべき点は、

    A→R→B のあと、なんで C じゃなくて P なの?

    ということです。


    これは、

    メネラウスの定理では頂点交点を交互に通る

    ということを思い出しましょう。


    つまり、ARB ときたら、次は交点と通らないといけないので C ではなく P になるということです。



    よって、

    $$\frac{AR}{RB}\frac{BP}{PC}\frac{CQ}{QA}=1$$

    に値を代入すると、

    $$\frac{3}{4}\cdot\frac{7}{2}\cdot\frac{x}{y}=1$$

    となります。

    \(BP=BC+CP=5+2=7\) だね!


    あとは計算をすると、

    $$\frac{x}{y}=\frac{8}{21}$$

    となるので、

    $$x:y=8:21$$

    となります!

    (例題2終わり)



    3. チェバの定理とメネラウスの定理の使い分け

    さて、ここまでチェバの定理とメネラウスの定理について解説してきましたが、

    実際の問題でどう使えばいいかわかんない…

    どう使い分ければいいの?

    といった疑問があると思います。

    この章ではそれらの疑問を解決していきたいと思います!


    どう使い分ける?

    まず、チェバの定理とメネラウスの定理ですが、

    どちらも

    $$\frac{AR}{RB}\frac{BP}{PC}\frac{CQ}{QA}=1$$

    という式は同じです。


    なので、ぶっちゃけ同じものと思っても何とかなります(笑)


    ですが、テストや模試などでは

    「チェバの定理より〜」とか「メネラウスの定理より〜」

    みたいなことを書かないと減点されかねないので、判別方法を知っておく必要はあります。



    では、どうやって判別するかを解説します。


    まず、チェバ・メネラウスどちらも、

    \(\triangle{ABC}\) の頂点 \(A\) , \(B\) , \(C\) と、

    それ以外の3点 \(P\) , \(Q\) , \(R\)

    の計6点が出てきます。


    ポイントは、それ以外の3点 \(P\) , \(Q\) , \(R\)一直線上にあるかどうかです。

    \(P\) , \(Q\) , \(R\) が一直線上にあれば、メネラウスの定理で、

    \(P\) , \(Q\) , \(R\) が一直線上になければ、チェバの定理となります。



    どう使う?

    チェバ・メネラウスの定理は何となくわかったけど、問題が解けないという人は、

    実際の問題になると、線とか点が多くて、どこに注目すればいいのか…

    といった悩みを抱えてえいるのではないでしょうか。



    これは、正直「慣れる」のがいちばんだと思います。


    ですが一応、私の考え方を紹介しておきます。




    まず、チェバの定理やメネラウスの定理で問われることは、ほとんど「線分の比」です。


    この求めたい線分の比は、図に印をつけます。

    印は、色をつけたり、線を太くしたりするといいよ!


    図が問題に乗っていない場合は自分で図を書きましょう。


    そして、初めから問題で与えられている線分の比や長さも書き込み、印をつけます。




    こうして印をつけていくと、どこかしらに三角形ができているはずです。



    その三角形こそが、チェバの定理やメネラウスの定理を適用する三角形です。


    そしたら、その頂点に色をつけましょう。

    今回は、頂点は赤色にしていたので、で印をつけておきます。

    テストとかで色が使えない時は、○とか×で印をつけるといいね!


    そして、残った3点には別の色や印をつけましょう。

    今回は、青色にしておきます。




    あとは今まで解説してきたように、となるように一周するんでしたね!



    最後に、それを”しりとり”のようにくっつけていけば、

    チェバやメネラウスの定理の分数の式が得られるわけです。




    チェバの定理かメネラウスの定理かを見分けたければ、先ほど解説したように、で印をつけた3点が一直線上にあるかどうかを確認します。


    3点が一直線上ならメネラウスで、一直線上でなければチェバです。




    この方法を使って、実際に例題を解いてみましょう!


    練習問題

    例題3

    \(\triangle{ABC}\) において、辺 \(AB\) を \(3:5\) に内分する点を \(D\)、辺 \(BC\) を \(3:1\) に内分する点を \(E\) とする。

    さらに、直線 \(AC\) と直線 \(DE\) の交点を \(F\) とし、直線 \(AE\) と直線 \(BF\) の交点を \(G\) とする。

    このとき、次の比を求めよ。

    (1) \(AC:CF\)

    (2) \(AE:EG\)


     例題3の解説 

    まずは (1) の \(AC:CF\) を求めましょう。


    先ほど紹介した解き方で考えていきます。


    \(AC:CF\) を求めたいので、\(AC\) , \(CF\) に色をつけておきます。


    また、問題で \(AD:DB\) , \(BD:EC\) がわかっているので、それらの辺にも色をつけます。



    そしたら、黄色の線で囲まれた \(\triangle{ABC}\) が出てくるので、

    頂点 \(A,B,C\) は赤、その他の点 \(D,E,F\) は青で印をつけます。



    次に、となるように一周しましょう。

    すると、ADBECFA となります。


    ちなみに、今回は 3点 \(D,E,F\) が一直線上にあるので、メネラウスの定理になります。


    メネラウスの定理より、

    $$\frac{AD}{DB}\frac{BE}{EC}\frac{CF}{FA}=1$$

    となるので、値を代入すると、

    $$\frac{3}{5}\frac{3}{1}\frac{CF}{FA}=1$$

    となります。


    よって、

    $$\frac{CF}{FA}=\frac{5}{9}$$

    となるので、

    $$CF:FA=5:9$$

    であり、

    $$AC:CF=4:5$

    となります!




    (2) についても同様の考え方でできます。

    図に印をつけると、下のようになります。



    そしたら、\(\triangle{ABE}\) に注目すると、ADBCEGA で一周できます。


    今回は、3点 \(C,D,G\) が一直線上にないので、チェバの定理になります。

    \(\triangle{ABE}\) と外部の点 \(F\) に対して、チェバの定理を使っているよ!

    よって、チェバの定理より、

    $$\frac{AD}{DB}\frac{BC}{CE}\frac{EG}{GA}=1$$

    となるので、値を代入すると、

    $$\frac{3}{5}\frac{4}{1}\frac{EG}{GA}=1$$

    となります。


    これを計算すると、

    $$\frac{EG}{GA}=\frac{5}{12}

    となるので、

    $$EG:GA=5:12$$

    より、

    $$AE:EG=7:5$$

    となります!


    (例題3終わり)


    図形の性質数学A
    スポンサーリンク
    OchibaAtsuoをフォローする
    ますますmathが好きになる!魔法の数学ノート

    コメント

    タイトルとURLをコピーしました